Maintenant que vous avez complété le QCM et obtenu votre note, nous vous invitons à valider l’ensemble de vos réponses.
Etudiez attentivement la correction aux questions auxquelles vous avez mal répondu. Mais jeter également un coup d’oeil à la correction de vos bonnes réponses. Vous pourrez ainsi valider votre raisonnement ou découvrir une autre façon de procéder.
A l’issue de la correction, vous pourrez alors choisir de travailler une autre partie du sujet d’annales du concours Avenir 2019.
Question 1:
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que : $u_{10}=12$ et $u_{15}=8$
Que vaut la raison $r$ de la suite $(u_n)$ ?
a)$r=0,6$
b)$r=-0,6$
c)$r=-0,8$
d)$r=-1,2$
Correction :
La suite $(u_n)$ est arithmétique. on a donc :
$u_{15}=u_{10}+5r$
soit $5r=-4$ et donc $r=-0,8$
Réponse c
Question 2 :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que :
$u_{2018}=12$ et $\frac{u_{2018}+u_{2020}}{2}=12,5$
Que vaut la raison $r$ de $(u_n)$ ?
a)$r=0,5$
b)$r=1$
c)$r=-1$
d)$r=-0,5$
Correction
la quantité $\frac{u_{2018}+u_{2020}}{2}=12,5$ est la moyenne des termes $u_{2018}$ et $u_{2020}$. Elle est donc égale à $u_{2019}$
La réponse est alors immédiate : $r=0,5$
Réponse a
Question 3:
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=-10$ et de raison 2. Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison 2
Soit enfin, $(w_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :
$w_n=\frac{u_n+v_n}{2}$
La somme $u_9+v_9+w_9$ est égale à :
a) 260
b) 520
c) 780
d) 1560
Correction :
$(u_n)$ est une suite arithmétique donc : $u_9=u_0+9r$ soit $u_9=8$
$(v_n)$ est une suite géométrique donc : $v_9=v_0\times q^9$ soit $v_9=512$
et donc : $w_9=260$
Alors on a : $u_9+v_9+w_9=780$
Réponse c
Question 4:
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison 2 et $(v_n)$ la suite définie par $v_n=2u_n$.
On peut alors affirmer que :
a)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$
b)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$
c)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$
d)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $4$
Correction :
$(u_n)$ est géométrique de raison 2, on peut donc écrire que : $u_n=u_0\times 2^n$
$v_n=2u_n$ donc $v_{n+1}=2u_{n+1}$
On en déduit que : $v_{n+1}=2\times 2^{n+1}=2^{n+2}$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 2
Réponse a
Question 5:
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et $(v_n)$ la suite définie par :
$v_n=u_{n+1}-u_n$
On peut alors affirmer que :
a)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q$
b)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q-1$
c)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q(q-1)$
d)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $q$
Correction :
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ donc : $u_n= u_0\times q^n$
On a alors : $v_n=u_0\times q^{n+1}-u_0\times q^n=u_0\times q^n(q-1)= u_0\times (q-1)\times q^n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q$
Réponse a
Question 6
Soit $(u_n)$ la suite à valeurs strictement positives définies sur $\mathbb{N}$ par :
$u_0=2$ et $u_{n}=\frac{2u_n}{u_n+1} \:\: pour \:n\in \mathbb{N} $
On définit également la suite $(v_n)$ par :
$v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \:\:\: pour\: tout\: n\in \mathbb{N}$
La suite $(v_n)$ est :
a) géométrique de raison $2$
b) géométrique de raison $\frac{1}{2}$
c) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$
d) arithmétique de raison $2$
Correction
Dans le cadre d’un QCM, la démonstration n’est pas demandée, il est donc plus judicieux de calculer les premiers termes de la suite $(v_n)$. Il sera alors facile de repérer si la suite est arithmétique ou géométrique.
$u_0=2$ et $v_0=\frac{1}{2}$
$u_1=\frac{4}{3}$ et $v_1=\frac{1}{4}$
$u_2=\frac{8}{7}$ et $v_3=\frac{1}{8}$
On constate de suite que $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$
Réponse b
Question 7:
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=2u_n+n+4$
On définit également sur $\mathbb{N}$ la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n+n+a$
Pour quelle valeur de $a$ la suite $(v_n)$ est-elle géométrique ?
a) $2$
b) $-2$
c) $\frac{5}{2}$
d) $5$
Correction:
On calcule $v_{n+1}$:
$v_{n+1}=u_{n+1}+n+1+a$
$v_{n+1}=2u_n+n+4+n+1+a$
$v_{n+1}=2u_n+2n+5+a$
$v_{n+1}=2\left(u_n+n+\frac{5+a}{2}\right)$
$(v_n)$ est alors une suite géométrique si et seulement si :
$\frac{5+a}{2}=a$
Soit : $a=5$
Réponse d
Question 8:
Soit $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout $n$ entier naturel non nul:
$u_{n+1}=\frac{1}{2n}u_n+2n+2$
On a alors :
a) $u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+5$
b) $u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+6$
c) $u_{n+2}=\frac{1}{4n^2}u_n+2n+7$
d) $u_{n+2}=\frac{1}{4n^2}u_n+2n+6$
Correction :
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}u_{n+1}+2(n+1)+2$
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}\left(\frac{1}{2n}u_n+2n+2\right)+2n+4$
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}\times \frac{1}{2n}u_n+1+2n+4$
$u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+5$
Réponse a
