Médiatrice d'un segment: définition et propriétés

La médiatrice d’un segment est une droite particulière dont la définition est abordée en classe de 6ème.  Je vous propose d’en revoir ici la définition et les propriétés. J’aborderai également le cas du tracé de ces droites dans un triangle.

Le cours résumé en vidéo

J’ai réalisé une petite vidéo explicative à l’aide du logiciel Géogébra. Et Vous trouverez un cours sur la médiatrice en dessous de cette vidéo

Définition de la médiatrice d'un segment

La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu perpendiculairement.

Autrement dit, la médiatrice est une droite qui passe par le milieu d’un segment et qui forme un angle droit avec ce segment.

Comme vous pouvez le constatez sur la figure ci-contre, la droite rouge coup le segment en C, milieu de [AB] et l’angle ACD mesure 90°.

La droite rouge est donc la médiatrice du segment [AB]

Cette droite peut donc se tracer à l’aide d’une règle graduée et d’une équerre. Mais je vous propose plutôt de réaliser la construction au compas. C’est plus simple, ne nécessite aucune mesure et la méthode permet beaucoup de précision.

médiatrice d'un segment définition

Une première propriété de la médiatrice

L’ensemble des points de la médiatrice sont équidistants des extrémités du segment

Cela signifie que si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors ce point se situe à égale distance des extrémités du segment. Comme l’illustre l’image ci-contre, la droite (ED) est la médiatrice du segment [AB].  Et les points D et E sont bien à égale distance de A et de B.

DB=DA et EA=EB

Cette propriété sert, notamment, à démontrer des égalités de longueur dans une figure géométrique.

Equidistance des points de la médiatrice

Deuxième propriété de la médiatrice

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.

Pour faire simple, si un point se situe à égale distance des deux extrémités d’un segment alors ce point est sur la médiatrice. Regardons d’un peu plus près avec les deux photos ci-dessous. Sur la première image, on a tracé un triangle ABC isocèle en C. On a donc l’égalité des longueurs : AC=BC. Sur la deuxième image, on a tracé en rouge la médiatrice du segment [AB]. On constate que celle-ci passe par le point C.

Cette propriété permet de démontrer qu’une droite est une médiatrice. La question est parfois posée différemment: 

Quelle est la nature de la droite (AB)

Que représente la droite (d) pour le segment [AB]

propriete-de-la-mediatrice-1
appartenance d'un point à la médiatrice