Comment simplifier une fraction en 6e/5e?

Simplifier une fraction est un exercice qui consiste à écrire la fraction sous la forme la plus simple possible. Avec la simplification de fraction, on cherche à rendre la fraction irréductible. C’est à dire que le numérateur et le dénominateur sont des nombres les plus petits possibles. On parle également de réduction de fraction. Afin de simplifier une fraction facilement et rapidement, il est essentiel de connaître les tables de multiplication par cœur. Il faut également maîtriser les critères de divisibilité, tout du moins les plus classiques. On te le remémore un peu plus bas. Il existe différentes méthodes pour simplifier une fraction. Dans ce cours, on va en étudier deux qui sont particulièrement adaptées aux élèves de 6ème et de 5ème. Sommaire du cours:

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Principe de la simplification de fraction

Comme simplifier une fraction c’est faire en sorte que les nombres qui la composent soient les plus petit possibles, il faut donc trouver un diviseur qui est commun au numérateur et au dénominateur.

Lorsque l’on divise alors le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun, on fait apparaître une nouvelle fraction. Celle-ci est égale à celle de départ.

Voici un exemple pour mieux comprendre:

Prenons la fraction $\frac{18}{10}$. Les nombres 18 et 10 sont tous les deux dans la table de 2. 

$18=9\times 2$ et $10=5\times 2$

On peut alors écrire :

$$\frac{18}{10}=\frac{9\times 2}{5\times 2}=\frac{9}{5}$$

Dans l’exemple ci-dessus, 2 est un facteur commun à 18 et 10. On a donc fait apparaître 2 au numérateur et au dénominateur. La fraction se simplifie par 2. La fraction $\frac{18}{10}$ a donc été simplifiée en $\frac{9}{5}$.

Dans ce cas ci, la fraction obtenue est irréductible puisque 9 et 5 ne se trouvent dans aucune table de multiplication commune.

Cet exemple est particulièrement simple. Mais pour simplifier une fraction plus complexe facilement, il faut connaître les critères de divisibilité.

Simplifier une fraction avec les critères de divisibilité

On va d’abord commencer par te rappeler les critères de divisibilité les plus classiques. Ainsi, tu auras toutes les cartes en main pour réussir tes simplifications de fraction.

Rappel des critères de divisibilité les plus classiques

Voici ce que tu dois savoir pour reconnaître si un nombre est un multiple de 2, de 3, de 5, de 9 ou de 10:

  • Un nombre est divisible par 2 s’il est pair; C’est à dire qu’il se termine par 0, 2, 4,  ou 8
  • Un nombre est un multiple de 3 si la somme des chiffres qui le composent est dans la table de 3.
  • Si un nombre se termine par 5 ou 0 alors il est divisible par 5.
  • Pour qu’un nombre soit un multiple de 9, il faut que la somme de ses chiffres soit dans la table de 9 (comme pour les multiples de 3!)
  • Enfin, si un nombre se termine par 0, c’est un multiple de 10.

 

Il existe d’autres critères de divisibilité mais ceux énoncés ci-dessus sont vraiment ceux que tu dois maîtriser en 6ème / 5ème.

Comment les utiliser pour la réduction de fraction?

Pour réduire une fraction au maximum, on va tester les critères de divisibilité les uns après les autres en commençant par 2. Si la fraction se simplifie par 2, on note le résultat et on recommence en validant ou non une nouvelle simplification par 2.

Au contraire si la fraction ne se simplifie par par 2, on teste alors avec 3. Et ainsi de suite!

Voici un exemple pour illustrer la méthode:

Rendre irréductible la fraction : $\frac{72}{84}$

1ère étape:

72 et 84 sont tous les deux des nombres pairs. En les divisant par 2, on obtient respectivement : 36 et 42.

On a donc:

$$\frac{72}{84}=\frac{36}{42}$$

2ème étape:

36 et 42 sont également des nombres pairs. On peut donc simplifier une nouvelle fois par 2. On obtient 18 et 21

On a alors:

$$\frac{72}{84}=\frac{36}{42}=\frac{18}{21}$$

3ème étape:

18 et 21 sont des multiples de 3 puisque 1+8=9 et 2+1=3. On peut ainsi simplifier par 3. On obtient 6 et 7.

Le résultat final est:

$$\frac{72}{84}=\frac{36}{42}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7}$$

Dans cet exemple, il a fallu 3 étapes pour arriver à la fraction irréductible. C’est parfois plus long, parfois plus rapide… tout dépend de la fraction de départ!

Simplifier une fraction avec les tables

Quelquefois, il est inutile de perdre du temps à tester tous les critères de divisibilité. Avec un peu d’observation et une solide connaissances des tables de multiplications, on peut réduire une fraction rapidement.

Exemple: rendre irréductible la fraction $\frac{42}{18}$

Ici, il faut se rendre compte que 42 et 18 sont des nombres présents dans la table de 6 et que la fraction se simplifie donc par 6. on obtient immédiatement: $\frac{42}{18}=\frac{7}{3}$.

Bien sûr, on aurait pu appliquer les critères de divisibilité et simplifier la fraction successivement par 2 puis par 3. Mais en remarquant la présence de la table de 6, on a gagné du temps! Et quand on gagne du temps, on se laisse la possibilité d’avoir une meilleure note au contrôle!!

Il arrive également qu’aucun des critères de divisibilité s’applique pour simplifier la fraction. C’est particulièrement vrai lorsqu’il s’agit de simplifier par 7, 11 ou encore 13… d’accord, on ne connait pas la table de 13 mais celle de 7 et 11 oui!

Encore un exemple pour illustrer ce propos:

Simplifier la fraction $\frac{35}{56}$

Les nombres de cette fraction ne répondent à aucun des critères listés plus haut. Par contre, comme on connait la table de 7, on remarque que:

$35=7\times 5$ et $56=7\times 8$.

On peut donc simplifier la fraction par 7 et on obtient la fraction irréductible: $$\frac{35}{56}=\frac{5}{8}$$

Conclusion sur la simplification de fraction

Pour réussir tes simplifications de fractions, tu dois:

  1. Savoir tes tables de multiplications par coeur
  2. Connaîtres les critères de divisibilité classiques
  3. Observer la fraction que l’on te propose de réduire
  4. Te poser la question à la fin d’un calcul: puis-je encore simplifier