Somme des termes d'une suite géométrique
Dans ce cours, on va voir ensemble comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique. Je vais d’abord te rappeler la formule de la somme que tu dois connaître. Puis on verra comment l’utiliser pour calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique au travers de deux exercices d’application.
Il s’agit ici, d’un savoir-faire que tu dois maîtriser. C’est une question que l’on retrouve dans les sujets E3C de première spé maths, sous forme de QCM ou dans un exercice sur les suites géométriques. C’est une question tout aussi classique que celle concernant le terme général ou justifier que la suite est géométrique
Plan du cours:
- Somme d’une suite géométrique: formules
- Généralisation
- Exemples de calcul d’une somme de termes d’une suite géométrique
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Formule de la somme d'une suite géométrique
La base de tout c’est, bien évidemment, de connaître les formules de la somme des termes d’une suite géométrique. Je vais ici distinguer deux cas: lorsque le premier rang de la somme est n=0 et lorsque le premier rang de la somme est n=1. Mais tu verras un peu plus loin que ces formules pour calculer la somme peuvent être généralisées.
Formule de la somme: deux cas classiques
Commençons avec le cas le plus classique, lorsque le rang du premier terme de la suite est n=0. (Un) est donc une suite géométrique de premier terme $U_0$ et de raison q.
$$U_0+U_1+U_2+…+U_n=U_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
Exemple d’application: calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique (Un) définie par $U_0=2$ et de raison q=3
Cela revient donc à calculer la somme des termes consécutifs de $U_0$ à $U_9$
Dans ce cas précis, il suffit d’appliquer directement la formule avec $U_0=2$, q=3 et n=9 (rang du dixième terme):
$$U_0+U_1+U_2+…+U_9=2\times \frac{1-3^{9+1}}{1-3}$$
$$U_0+U_1+U_2+…+U_9=2\times \frac{1-3^{10}}{1-3}$$
$$U_0+U_1+U_2+…+U_9=-(1-3^{10})=3^{10}-1=59048$$
Voyons maintenant le cas où le premier terme de la suite géométrique est $U_1$
$$U_1+U_2+U_3+…+U_n=U_1\times \frac{1-q^{n}}{1-q}$$
Exemple d’application: calculer la somme des 15 premiers termes de la suite géométrique (Un) définie par $U_1=3$ et de raison q=2.
Tout comme précédemment, il s’agit encore d’une application directe de la formule de la somme avec $U_1=3$, q=2 et n=15 (rang du 15ème terme de la somme)
$$U_1+U_2+…U_{15}=3\times \frac{1-2^{15}}{1-2}$$
$$U_1+U_2+…U_{15}=-3\times (1-2^{15})=98301$$
Cas particulier: lorsque la somme des termes commence par 1
On cherche ici à calculer la somme: $S=1+q+q^2+…q^n$
$$S=1+q+q^2+…q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
Cette formule se démontre assez facilement:
Soit: $S=1+q+q^2+…q^n$
Calculons alors: $q\times S=q+q^2+q^3…q^{n+1}$
Et soustrayons ces deux égalités. On obtient:
$S – q\times S=1-q^{n+1}$ la quasi totalité des termes s’élimine deux à deux.
On peut alors factoriser le premier membre par S:
$$S(1-q)=1-q^{n+1}$$
Pour $q\neq 1$ on peut alors isoler S:
$$S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
Somme des termes d'une suite: formule générale
Si on y regarde d’un peu plus près, toutes les formules pour calculer la somme des termes d’une suite géométrique se ressemblent. Trois éléments reviennent systématiquement dans les 3 formules précédemment citées:
- le premier terme ($U_0$, $U_1$ ou 1)
- la raison q est aussi présente à chaque fois
- enfin, le nombre de termes de la somme à calculer
On peut donc résumer le tout avec la formule suivante:
$$S=(Premier \: terme)\times \frac{1-q^{Nombre\: de\: termes}}{1-q}$$
Calculer la somme des termes consécutifs: exemples
Exemple 1:
Calculer la somme $S=1+4+16+…+16384$
Dans ce cas précis, on imagine aisément qu’il va falloir utiliser la troisième formule donnée dans ce cours. On remarque instantanément que la raison est q=4. Mais la difficulté réside alors le fait de déterminer la valeur de n. Pas de panique, il suffit de réaliser une table des puissances de 4 avec la calculatrice et trouver que $4^7=16384$
La somme S s’écrit donc:
$S=1+4+4^2+…+4^7$
On peut alors appliquer la formule:
$S=\frac{1-4^{7+1}}{1-4}=21845$
Exemple 2:
Soit la suite définie par $U_0=1$ et $U_2=9$
Calculer la somme des 10 premiers termes.
Dans ce cas là, le premier terme et le nombre de termes de la somme sont connus. Par contre, il faut trouver la raison de la suite géométrique.
Cet exemple est assez simple, ici q=3.
On calcule donc la somme:
$$S=1+3+3^2+…3^9$$
$$S=\frac{1-3^{9+1}}{1-3}=29524$$
En résumé
- Il existe plusieurs formules qui peuvent être résumées en une seule
- La difficulté de la question ne réside pas dans l’utilisation de la formule mais dans la détermination d’autres facteurs: la raison, la valeur du premier terme ou encore le nombre de termes