Comment démontrer qu'une suite est géométrique?

Voici une question classique des sujets E3C de première. Cette question est à ne pas confondre avec « justifier qu’une suite est géométrique« . Alors que cette dernière s’appuie, en général, sur la traduction de l’énoncé, pour démontrer qu’une suite est géométrique, il s’agit de montrer qu’une suite auxiliaire est géométrique.

Une suite auxiliaire est une suite qui ne nous intéresse pas au premier degré dans l’exercice mais qui permet de démontrer des résultats de la suite principale. En général, elle sert à exprimer Un en fonction de n pour une suite arithmético géométrique.

On vous détaille la méthode pour répondre à cette question et obtenir tous les points, ci-dessous.

Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison

On va étudier dans cette partie le cas d’une suite arithmético géométrique. Prenons  l’exemple du sujet E3C N°02608 dont voici un extrait:

On admet dans la suite de l’exercice que : $U_{n+1}=1,05U_n+15$ et $U_0=300

On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par $V_n=U_n+300$

Calculer $V_0$ et puis montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison $q=1,05$

Correction détaillée et annotée:

On sait que $V_n=U_n+300$ donc $V_0=U_0+300=600$

Maintenant il faut montrer que la suite (Vn) est géométrique. Pour cela, on commence par exprimer le terme $V_{n+1}$ car on veut se rapprocher de la définition d’une suite géométrique.

Pour exprimer $V_{n+1}$, il suffit de transformer tous les n en n+1; On fait ce qu’on appelle un changement d’indice. On a donc:

$V_{n+1}=U_{n+1}+300$

On remplace alors $U_{n+1}$ par son expression donnée dans l’énoncé. On a alors:

$V_{n+1}=1,05\times U_n+15+300$

Il s’en suit alors une étape de réduction:

$V_{n+1}=1,05\times U_n+315$

Puis, une étape de factorisation par la valeur de la raison: 1,05

$V_{n+1}=1,05\times (U_n+\frac{315}{1,05})$

Après calcul, on obtient enfin:

$V_{n+1}=1,05\times (U_n+300)$

soit: $V_{n+1}=1,05\times V_n$

Il n’y a plus qu’à conclure avec une phrase type: 

$V_{n+1}$ est de la forme $V_{n+1}=q\times V_n$ avec $q=1,05$. Donc la suite (Vn) est géométrique de raison q=1,05 et de premier terme $V_0=300

La méthode résumée en 4 points

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut donc réaliser les 4 étapes suivantes:

  • Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $U_{n+1}$ à l’aide de la relation donnée dans l’énoncé (1 ligne d’écriture)
  • Remplacer ensuite $U_{n+1}$ par sa définition donnée dans l’énoncé.
  • Réduire puis factoriser par la raison la ligne précédente (quelques lignes d’écriture)
  • Enfin, conclure sur la nature de la suite en n’oubliant pas de préciser la raison et le premier terme

Une fois cette étape de démonstration terminée, on pourra alors facilement exprimer Vn en fonction de n et déduire le terme général de Un.

Savoir que (Vn) est géométrique permet également de calculer sa limite et donc de déduire celle de (Un)