Suites géométriques: cours et formules essentielles

Une suite géométrique est une suite numérique particulière. Elle est étudiée en première générale option spé maths ainsi qu’en première technologique. Sur cette page, je vous propose un résumé de cours sur les suites géométriques et les formules essentielles qui leur sont associées. Et, en bas de page, je t’explique quelles sont les situations modélisées par une suite géométrique.

La limite d’une suite géométrique et les variations sont des thèmes traités dans des cours séparés.

Définition des suites géométriques

Une suite $(U_n)$ est une suite géométrique s’il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$:

$U_{n+1}=q \times U_n$

Dans la formule, on appelle $q$ la raison de la suite et l’égalité $U_{n+1}=q \times U_n$ est la relation de récurrence de la suite.

En termes clairs, une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d’un terme à un autre en multipliant toujours par une même valeur, la raison. Cette raison est un réel et peut dont être n’importe quelle valeur positive ou négative.

Exemples : 

Les nombres 1; 2; 4; 8; 16; 32 sont les premiers terme d’une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison q=2. On peut dont écrire la relation de récurrence suivante:

$U_{n+1}=2\times U_n$

C’est cette définition qui permet de justifier qu’une suite est géométrique. Une des questions classiques des différents sujets E3C sur les suites numériques.

On a aussi rédigé un cours sur comment démontrer qu’une suite est géométrique.

Terme général d'une suite géométrique

On le comprends bien, la relation de récurrence permet de calculer les termes d’une suite géométrique de proche en proche en proche. Mais cette formule ne permet pas de calculer un terme connaissant son rang. C’est en cela que le terme général d’une suite géométrique, ou expression de Un en fonction de n est utile.

Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme $U_0$: $U_n=U_0 \times q^n$

Cette formule n’est valable que si la suite géométrique est définie à partir du rang 0. Elle s’adapte pour toute suite définie à partir du rang 1 ou de tout autre rang p:

A partir du rang 1: $U_n=U_1\times q^{n-1}$

A partir d’un rang p quelconque, formule généralisée: $U_n=U_p\times q^{n-p}$

Avec l’exemple précédent d’une suite de premier terme  $U_0=1$ et q=2, on peut alors exprimer Un en fonction de n:

$U_n=1\times 2^n=2^n$

Vous le comprenez bien, ces formules permettent de déterminer une forme explicite de la suite. Et on a justement rédigé un cours pour apprendre à exprimer Un en fonction de n selon la suite étudiée. Ce sont également ces formules qui permettent de déterminer la raison d’une suite géométrique connaissant deux termes.

Somme des termes d'une suite géométrique

Savoir comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique est indispensable. Il s’agit d’une question qui revient souvent dans les sujets E3C de spé maths en première générale.

Soit $u_n$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $U_0$.

Et S la somme des termes $S=u_0+u_1+u_2+…+u_n$

Alors $S=U_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Exemple: Soit $(U_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison q=3.

Calculer la somme: $S=U_0+U_1+…+U_9$

$S=U_0\times \frac{1-q^n}{1-q}=2\times \frac{1-3^{10}}{1-3}=59 048$

Les situations modélisées par ces suites

Ces suites numériques permettent de modéliser toute situation dont l’évolution est exponentielle; que celle-ci soit à tendance croissante ou décroissante.

Plus précisément, dans le cadre des sujets E3C, on retrouve des suites géométriques dans tous les problème qui mentionnent une évolution en pourcentage fixe au fil du temps.

Exemple 1: Le nombre d’abonnés d’une salle de sport augmente de 2% tous les ans

Exemple 2: La côte d’une voiture perd 20% de sa valeur chaque année après sa date de mise en circulation.

Pour chacun de ces deux exemples, il s’agit d’une évolution en pourcentage, à la hausse ou à la baisse qui reste constante avec le temps. Et pour chaque situation il est possible d’obtenir facilement et rapidement la valeur de la raison en calculant un coefficient multiplicateur C.

Dans le cadre d’une augmentation en pourcentage de t% : $C=1+\frac{t}{100}$

Pour une diminution de t%: $C=1-\frac{t}{100}$

 

Dans l’exemple 1, on obtient donc $q=1+\frac{2}{100}=1,02$

Et dans l’exemple 2, on obtient alors: $q=1-\frac{20}{100}=0,8$