Comment justifier une suite géométrique? Rédaction

Comment justifier si une suite est géométrique? Voici une question que l’on retrouve de manière récurrente dans les sujets E3C de première spé maths. Cette question peut apparaître sous deux formes dans les sujets de bac:

  • Justifier que la suite (Un) est géométrique
  • Ou alors: déterminer la nature de la suite (Un).

Dans les deux cas, la réponse doit être formulée de la même façon. Sur cette page, on vous propose donc une rédaction qui vous rapportera tous les points à cette question.

Cette question est souvent un préalable pour déterminer ensuite l’expression de Un en fonction de n d’une suite géométrique

Attention, cette méthode ne permet pas de montrer qu’une suite auxiliaire est géométrique!

Définition d'une suite géométrique: rappel

Afin de répondre correctement à cette question il faut se rapprocher de la définition d’une suite géométrique. Pour mémoire, une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d’un terme à un autre en multipliant toujours par une même valeur: la raison. Ce qui amène à la relation de récurrence:

$U_{n+1}=q\times Un$

La rédaction se réalise ensuite en trois étapes que l’on vous précise avec les deux exemples suivants

Justifier si une suite est géométrique: cas d'une baisse en pourcentage

Dans cet exemple, on s’appuie sur le sujet E3C N°02607, dont voici un extrait:

En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de 10 500€. La valeur de cette voiture a baissé de 14% par an.

La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note Pn la valeur de la voiture en l’année 2002+n. On a donc : $P_0=10500$

Déterminer la nature de la suite (Pn)

Dans cet énoncé, on doit reconnaître immédiatement la présence d’une suite géométrique puisqu’il s’agit d’une évolution en pourcentage, qui reste la même d’année en année. Et la réponse à cette question s’articule en 3 étapes:

Etape 1: rédiger une phrase d’introduction.

Pas besoin de faire compliqué! Cette phrase reprend simplement les éléments de l’énoncé:

La valeur de la voiture diminue de 14% chaque année

Etape 2: traduire cette phrase en mathématiques

On peut donc écrire:

$P_{n+1}=P_n-\frac{14}{100}\times P_n$

$P_{n+1}=(1-\frac{14}{100})\times P_n$

$P_{n+1}=0,86\times P_n$

Ces précédentes lignes traduisent bien que la valeur l’année d’après , $P_{n+1}$ est égale à la valeur précédente $P_n$ diminuée de 14%

Etape 3: rédiger la conclusion

La conclusion s’appuie sur la définition d’une suite géométrique. Deux phrases sont à rédiger  et à adapter par rapport  au résultat que vous trouvez à l’étape précédente:

$P_{n+1}$ est de la forme $P_{n+1}=q\times P_n$ avec q=0,86.

La suite (Pn) est donc une suite géométrique de raison q=0,86 et de premier terme $P_0=10500$

Ceci est donc une rédaction type qui permet de justifier qu’une suite est géométrique. avec cette rédaction, vous êtes sûrs d’empocher tous les points et de maximiser votre note sur ce type d’exercice.

Justifier une suite géométrique: étude d'une hausse en pourcentage

Voici un extrait du sujet 02609:

En 2000, la production mondiale de plastique était de 187 millions de tonnes; On suppose que depuis 2000, cette production augmente de 3,7% chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année 2000+n, par la suite de terme général Un, où n désigne le nombre d’années à partir de l’an 2000. 

Ainsi $U_0=187$

Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Et voici maintenant la correction en 3 étapes comme précédemment:

La production mondiale de plastique augmente de 3,7% chaque année.

On peut donc écrire:

$U_{n+1}=U_n+\frac{3,7}{100}\times U_n$

$U_{n+1}=(1+\frac{3,7}{100})\times U_n$

$U_{n+1}=1,037\times U_n$

$U_{n+1}$ est de la forme $U_{n+1}=q\times U_n$ avec $q=1,037$. La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison $q=1,037$ et de premier terme $U_0=187$