Exprimer Un en fonction de n pour différentes suites

Comment exprimer Un en fonction de n ? C’est une question qui revient régulièrement dans les sujets de bac et dont la réponse dépend de la nature de la suite. Il s’agit de déterminer ce que l’on appelle le terme général de la suite ou, dit autrement, sa forme explicite. Cette forme sert, en général, pour le calcul de termes ou le calcul de la limite. 

On va donc voir, ensemble, comment répondre à cette question pour une suite arithmétique, une suite géométrique et une suite arithmético géométrique.

Exprimer Un en fonction de n pour une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique, répondre à cette question est extrêmement simple! A partir du moment où l’on sait que la suite est arithmétique ou que l’on a justifié que la suite est arithmétique. 

Connaître la nature de la suite est indispensable ainsi que ses caractéristiques: à savoir, sa raison et son premier terme. Il faut également connaître les formules concernant les suites arithmétiques

Formules en fonction de n:

$U_n=U_0+n\times r$ si le premier rang de la suite est 0

$U_n=U_1+(n-1)\times r$ si le premier rang de la suite est 1

ou $U_n=U_p+(n-p)\times r$ si le premier rang est n’importe quelle valeur entière positive p

Exemple 1:

Soit (Un) la suite arithmétique de raison r=4 et de premier terme $U_0=-13$. Exprimer un en fonction de n

On utilise la formule: $U_n=U_0+n\times r$ et on remplace simplement $U_0$ et r par leur valeur respective:

$U_n=-13+4n$

Exemple 2:

Soit (Un) la suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme $U_1=-4$. Donner le terme général de la suite (Un)

On utilise la formule: $U_n=U_1+(n-1)\times r$ et on remplace simplement $U_1$ et r par leur valeur respective:

$u_n=-4+(n-1)\times 2$

On développe: $U_n=-4+2n-2$

Et on réduit: $U_n=-6+2n$

Exprimer Un en fonction de n pour une suite géométrique

Tout comme pour une suite arithmétique, l’expression de Un en fonction de n pour une suite géométrique est très simple. Il faut connaître la valeur de la raison et du premier terme de la suite. En général, la justification de la suite géométrique est un préalable. Cette question précède souvent le calcul de la limite. Connaître ces formules permet également de calculer la raison connaissant deux termes de la suite.

Pour mémoire, les formules à connaître sont:

$U_n=U_0\times q^n$ si le premier rang de la suite est 0

$U_n=U_1\times q^{n-1}$ si le premier rang de la suite est 1

ou d’une manière générale: $U_n=U_p\times q^{n-p}$ si la suite commence à n’importe quel rang p.

Exemple :

soit (Un) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme $U_0=2$. Déterminer le terme général de la suite (Un).

La réponse est quasi immédiate puisque l’on connaît la formule et les caractéristiques de la suite:

$U_n=U_0\times q^n$

On remplace par les valeurs connues de $U_0$ et q:

$U_n=2\times 3^n$Connaître

Cas d'une suite arithmético géométrique

Une suite arithmético géométrique est une suite qui n’est ni arithmétique, ni géométrique. Mais dont on peut déterminer des résultats à partir de l’étude d’une suite auxiliaire. Cette suite auxiliaire est une suite géométrique. 

Renons pour exemple le sujet E3C N°02608 dont voici un extrait:

On admet dans la suite de l’exercice que : $U_{n+1}=1,05U_n+15$

On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par $V_n=U_n+300$

a) Calculer $V_0$ et puis montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison $q=1,05$

b) Pour tout entier naturel n, exprimer Vn en fonction de n puis montrer que $U_n=600\times 1,05^n-300$

Dans tous les exercices concernant les suites arithmético géométrique, il faut d’abord démontrer que la suite Vn est géométrique. Partons du principe que c’est le cas:

Alors, on peut facilement exprimer Vn en fonction de n:

$V_n=V_0\times q^n$

$V_n=600\times 1,05^n$

Comme Vn et Un sont liés ensemble par la relation : $V_n=U_n+300$

on déduit aisément que :

$U_n=V_n-300$

soit: $U_n=600\times 1,05^n-300$