Trouver la raison d'une suite géométrique
Comment trouver la raison d’une suite avec deux termes? Cette question à laquelle vous devez savoir répondre n’est pas à proprement parler une question que l’on retrouve dans les sujets E3C. Mais il s’agit bien, là, d’un savoir-faire fondamental à maîtriser. Dans cette page, on vous propose d’étudier deux cas de figure:
- Lorsque deux rangs séparent les termes de la suite donnés.
- Trois rangs séparent les termes
Calculer la raison d'une suite géométrique: 2 termes et 2 rangs d'écart
Voici un exemple simple:
$U_4=162$ et $U_6=1458$ sont deux termes d’une suite géométrique à termes tous positifs.
Déterminer la raison de la suite (Un)
Pour déterminer la raison de cette suite, il faut se servir de l’expression du terme général d’une suite géométrique:
$U_n=U_0\times q^n$
Si vous avez besoin de revoir le cours c’est par ici
Et écrire alors deux relations pour les rangs donnés:
$U_4=U_0\times q^4$
$U_6=U_0\times q^6$
Et on calcule le quotient du terme de plus haut rang par l’autre terme:
$\frac{U_6}{U_4}=\frac{U_0\times q^6}{U_0\times q^4}=\frac{1458}{162}$
Après simplification et utilisation des propriétés des puissances, les termes $U_0$ disparaissent et on obtient:
$q^2=\frac{1458}{162}=9$
Il reste donc à résoudre cette équation.
Attention! Pour mémoire, l’équation $x^2=a$ avec $a$ un nombre positif, admet deux solutions distinctes:
$x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
Dans le cadre de notre exemple on obtient donc que la raison de la suite géométrique peut être égale à : $q=3$ ou $q=-3$
Il faut donc choisir entre ces deux valeurs.
C’est l’énoncé qui nous permet de faire ce choix:
- Lorsque les termes de la suite sont tous de même signe, la raison est positive
- Dans le cas contraire, la raison est négative.
Ici, on a donc : $q=3$
Cas de deux termes séparés de trois rangs
Etudions maintenant un exemple où les deux termes de la suite sont distants de 3 rangs:
On donne $U_5=96$ et $U_8=768$, deux termes d’une suite géométrique.
Calculer la raison de la suite (Un).
La méthode est la même que dans l’exemple précédent:
On exprime $U_5$ et $U_8$ à l’aide de l’expression en fonction de n:
$U_5=U_0\times q^5=96$
$U_8=U_0\times q^8=768$
On réalise le quotient des deux termes et on simplifie:
$$\frac{U_8}{U_5}=\frac{768}{96}=8$$
On a alors: $q^3=8$
C’est à cette étape que les deux exemple diffèrent; on ne va pas utiliser une racine carrée mais une racine cubique :
$$q=\sqrt[3]{8}=2$$
Il faut savoir que l’équation $x^3=a$ pour $a\in \mathbb{R}$ admet une solution unique; Donc, dans ce cas, nul besoin de choisir la valeur de la raison comme dans l’exemple précédent.
La raison de la suite géométrique est donc $q=2$
Raison d'une suite géométrique: méthode résumée
Pour trouver la raison d’une suite géométrique avec deux termes, il faut donc suivre les étapes suivantes:
- Exprimer les deux termes donnés avec la formule en fonction de n
- Réaliser le quotient de ces deux termes et simplifier
- Utiliser la racine carrée ou la racine cubique pour trouver la valeur de la raison
- Conclure selon le cas de figure