Trouver la raison d'une suite géométrique

Comment trouver la raison d’une suite avec deux termes? Cette question à laquelle vous devez savoir répondre n’est pas à proprement parler une question que l’on retrouve dans les sujets E3C. Mais il s’agit bien, là, d’un savoir-faire fondamental à maîtriser. Dans cette page, on vous propose d’étudier deux cas de figure:

  • Lorsque deux rangs séparent les termes de la suite donnés.
  • Trois rangs séparent les termes

Calculer la raison d'une suite géométrique: 2 termes et 2 rangs d'écart

Voici un exemple simple:

$U_4=162$ et $U_6=1458$ sont deux termes d’une suite géométrique à termes tous positifs. 

Déterminer la raison de la suite (Un)

Pour déterminer la raison de cette suite, il faut se servir de l’expression du terme général d’une suite géométrique:

$U_n=U_0\times q^n$

Si vous avez besoin de revoir le cours c’est par ici

Et écrire alors deux relations pour les rangs donnés:

$U_4=U_0\times q^4$

$U_6=U_0\times q^6$

Et on calcule le quotient du terme de plus haut rang par l’autre terme:

$\frac{U_6}{U_4}=\frac{U_0\times q^6}{U_0\times q^4}=\frac{1458}{162}$

Après simplification et utilisation des propriétés des puissances, les termes $U_0$ disparaissent et on obtient:

$q^2=\frac{1458}{162}=9$

Il reste donc à résoudre cette équation.

Attention! Pour mémoire, l’équation $x^2=a$ avec $a$ un nombre positif, admet deux solutions distinctes:

$x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$

Dans le cadre de notre exemple on obtient donc que la raison de la suite géométrique peut être égale à : $q=3$ ou $q=-3$

Il faut donc choisir entre ces deux valeurs. 

C’est l’énoncé qui nous permet de faire ce choix:

  • Lorsque les termes de la suite sont tous de même signe, la raison est positive
  • Dans le cas contraire, la raison est négative.

Ici, on a donc : $q=3$

Cas de deux termes séparés de trois rangs

Etudions maintenant un exemple où les deux termes de la suite sont distants de 3 rangs:

On donne $U_5=96$ et $U_8=768$, deux termes d’une suite géométrique.

Calculer la raison de la suite (Un).

La méthode est la même que dans l’exemple précédent: 

On exprime $U_5$ et $U_8$ à l’aide de l’expression en fonction de n:

$U_5=U_0\times q^5=96$

$U_8=U_0\times q^8=768$

On réalise le quotient des deux termes et on simplifie:

$$\frac{U_8}{U_5}=\frac{768}{96}=8$$

On a alors: $q^3=8$

C’est à cette étape que les deux exemple diffèrent; on ne va pas utiliser une racine carrée mais une racine cubique :

$$q=\sqrt[3]{8}=2$$

Il faut savoir que l’équation $x^3=a$ pour $a\in \mathbb{R}$ admet une solution unique; Donc, dans ce cas, nul besoin de choisir la valeur de la raison comme dans l’exemple précédent.

La raison de la suite géométrique est donc $q=2$

Raison d'une suite géométrique: méthode résumée

Pour trouver la raison d’une suite géométrique avec deux termes, il faut donc suivre les étapes suivantes:

  • Exprimer les deux termes donnés avec la formule en fonction de n
  • Réaliser le quotient de ces deux termes et simplifier
  • Utiliser la racine carrée ou la racine cubique pour trouver la valeur de la raison
  • Conclure selon le cas de figure
 
La raison est l’élément caractéristique d’une suite géométrique. Connaître sa valeur permet de calculer la limite de la suite et de  déterminer le sens de variation. La valeur de la raison peut aussi provenir de la justification par l’énoncé.