Limite d'une suite géométrique: cours et exemples

Calculer la limite d’une suite géométrique est simple si on connaît un certain nombre d’éléments qui influent sur la valeur finale. La valeur de la raison a un rôle plus que significatif, complété par le signe du premier terme éventuellement. 

Explications!

La limite d'une suite géométrique dépend de la valeur de la raison

Si vous vous souvenez des formules sur les suites géométriques, vous savez donc que l’expression Un en fonction de n est:

$U_n=U_0\times q^n$

Il apparaît donc évident que pour calculer la limite d’une suite géométrique lorsque n tend vers l’infini, il faut connaître la valeur de la raison q.

On distingue donc plusieurs cas:

Lorsque -1<q<1:

Voici un résultat à connaître par cœur:

$\lim_{n\to +\infty} q^n=0$

On en déduit alors que : 

$\lim_{n\to +\infty} U_0\times q^n=0$

Donc :

$\lim_{n\to +\infty} U_n=0$

Lorsque la valeur de la raison q est comprise entre -1 et 1, la suite admet une limite réelle finie égale à 0. On dit que la suite est convergente et qu’elle converge vers 0

Si q>1:

Dans le cas où q>1, on a:

$\lim_{n\to +\infty} q^n=+\infty$

Le signe de $U_0$ détermine donc la limite de la suite géométrique:

Si $U_0>0$ alors $\lim_{n\to +\infty} U_0\times q^n=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} U_n=+\infty$

Par contre, si $U_0<0$ alors $\lim_{n\to +\infty} U_0\times q^n=-\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} U_n=-\infty$

Dans le cas où la valeur de la raison est strictement supérieure à 1, la suite (Un) tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Le signe de l’infini est déterminé en fonction du signe de $U_0$. On dit alors que la suite (Un) est divergente.

Et si q<-1 ?

Dans ce cas là, il est impossible de déterminer la limite de $q^n$. En effet, la notion d’infini est très floue! Et selon que l’exposant est pair ou impair la limite va osciller entre $+\infty$ et $-\infty$. 

Si la valeur de la raison est strictement inférieure à -1, alors la suite géométrique n’admet pas de limite. On dit que la suite est divergente.

Limite d'une suite géométrique: résumé des connaissances

On vous résume tout ce qu’il y a à savoir sur la limite d’une suite géométrique:

  • Si $q>1$ alors

    $$\lim_{n\to +\infty} U_n=\pm \infty$$ et le signe de l’infini est celui du signe de $U_0$. La suite est divergente.

  • Si $-1<q<1$ alors $$\lim_{n\to +\infty} U_n=0$$ peu importe la valeur de de $U_0$. La suite est convergente.
  • Si $q<-1$, la suite n’admet pas de limite et est divergente.

Exemples de rédaction type

Exemple 1: q>1

Soit (Un) une suite géométrique de premier terme $U_0=-4$ et de raison $q=2$. Déterminer la limite de cette suite .

On sait que Un s’écrit: $U_n=-4\times 2^n$

$q>1$ donc on peut écrire que:

$\lim_{n\to +\infty} 2^n=+ \infty$

Comme $U_0<0$, on en déduit que:

$\lim_{n\to +\infty} U_n=- \infty$

Exemple 2: (Vn) est une suite géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $V_0=100000$. Calculer la limite de (Vn).

$-1<q<1$ donc on peut écrire que:

$\lim_{n\to +\infty}0,98^n=0$

On en conclut la limite de la suite (Vn)

$\lim_{n\to +\infty} V_n=0$