Avenir 2019: annales complexes

Complexes et géométrie plane: Q9 à 20

Corrigé détaillé des questions de géométrie

Question 9:

Que permet de faire cet algorithme ?

a) Tester si un point appartient à une droite

b) Tester si un point est sur le côté d’un triangle

c) Tester si un triangle est rectangle

d) Tester si un point appartient à un cercle

Correction :

On reconnait dans l’algorithme l’écriture d’une équation de cercle de type :

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

avec $a=2$ et $b=-5$

Réponse c

Question 10:

Si l’utilisateur de cet algorithme entre une valeur négative pour $z$, alors :

a)On obtient toujours « Vrai », quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$

b) on obtient un message d’erreur car l’algorithme ne fonctionne pas

c) On obtient toujours « Faux », quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$

d) l’affichage dépend des valeurs de $x$ et $y$

Correction :

La valeur contenue dans la variable $z$ est élevée au carré. Donc $z^2>0$. L’affichage ne peut donc pas être à chaque fois « Faux ». De même il ne peut pas être toujours « vrai ». La réponse dépend des valeurs de $x$ et $y$ saisies.

Réponse d

Question 11:

Dans quel cas, obtient-on « Vrai » ?

a) $x=3$, $y=4$, $z=5$

b) $x=1$, $y=1$, $z=2$

c) $x=2$, $y=-5$, $z=-3$

d) $x=5$, $y=-1$, $z=5$

Correction :

Dans cette question, il suffit de remplacer dans l’équation pour valider quelle proposition est vraie.

Réponse d

Question 12:

Un carré a une aire égale à $48 cm^2$. La longueur de l’une des diagonale est égale à :

a) $4\sqrt{6}$

b) $8\sqrt{3}$

c) $8\sqrt{6}$

d) $4\sqrt{3}$

Correction:

Dans un carré de côté $a$, la diagonale mesure $a\sqrt{2}$. Ce résultat se trouve très facilement en appliquant un théorème de Pythagore.

ici $a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ en simplifiant la racine carré.

La diagonale mesure donc : $4\sqrt{3 }\times \sqrt{2}=4\sqrt{6}$

Réponse a

Question 13

On note $j$ un nombre complexe, solution de l’équation $1+z+z^2=0$
On peut alors affirmer que $(j+j^2+j^3)^3$ est égal à :

a) 0

b) 1

c) j

d) $j^2$

Correction :

$j$ est solution de l’équation donc :$1+j+j^2=0$

En multipliant l’égalité par $j$, on obtient : $j+j^2+j^3=0$

donc $(j+j^2+j^3)^3=0$

Réponse a

Question 14:

La partie réelle du complexe : $2i(1+i+cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))$ est égale à :

a) $3$

b) $-2-\sqrt{3}$

c) $\frac{3}{2}$

d) $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

Correction :

Pour répondre correctement, il est inutile de tout développer. La partie réelle provient de :

$2i\times i + 2i\times isin\frac{\pi}{3}$

ce qui est égal à : $-2-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

Réponse b

Question 15:

On note $Re(z)$ la partie réelle et $Im(z)$ la partie imaginaire d’un nombre complexe $z$.
Si $z_1$ et $z_2$ désignent deux nombres complexes non nuls, alors : $Re\left((z_1+iz_2)(1+i)\right)$

Correction :

Développons :

$(z_1+iz_2)(1+i)=z_1+iz_2+iz_1-z_2$

On en déduit que $Re((z_1+iz_2)(1+i))=Re(z_1-z_2)-Im(z_1+z_2)$

Réponse a

Question 16:

Si $z=cos(\frac{\pi}{8})+isin(\frac{\pi}{8})$; alors $z^8$ est égal à:

a) 1

b) i

c)-1

d) -i

Correction :

Par définition : $z=cos\Theta+isin\Theta=e^{i\Theta}$

Donc : $z^8=e^{i\pi}=-1$

Réponse c

Question 17:

Soit $p$ un nombre réel et $(E)$ l’équation suivante : $2pz^2+(1-p)z+2p=0$
A quel ensemble doit appartenir $p$ pour que $(E)$ ait deux racines complexes conjuguées ?

a) $[-\frac{1}{3};\frac{1}{5}]$

b) $]-\frac{1}{3};\frac{1}{5}[$

c) $]-\infty;-\frac{1}{3}]\cup [\frac{1}{5};+\infty[$

d) $]-\infty;-\frac{1}{3}[\cup ]\frac{1}{5};+\infty[$

Correction :

L’équation admet deux racines complexes conjuguées si et seulement si $\Delta<0$.

On calcule $\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=(1-p)^2-4\times (2p)^2$=-15p^2-2p+1$

$\Delta$ est lui-même un trinôme du second degré.

On calcul : $\Delta’=4-4\times (-15)\times 1=64$

Le trinôme $-15p^2-2p+1$ admet deux racines réelles distinctes. On obtient : $p=\frac{1}{5}$ et $p=\frac{-1}{3}$

On en déduit le signe de $\Delta’$ et que la bonne réponse est

Réponse d

Question 18:

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes d’arguments respectifs $arg(z_1)=\frac{5\pi}{8}$ et $arg(z_2)=\frac{5\pi}{6}$ dans $]-\pi;\pi[$.
On peut alors affirmer que la valeur dans $]-\pi;\pi[$ de $arg(z_1\times z_2^3)$ est :

a) $\frac{\pi}{2}$

b) $-\frac{7\pi}{8}$

c) $\frac{7\pi}{8}$

d) $-\frac{\pi}{2}$

Correction :

$arg(z_1\times z_2^3)=arg(z_1)+3\times arg(z_2)= \frac{5\pi}{8}+\frac{5\pi}{2}=\frac{25\pi}{8}=-\frac{7\pi}{8} (2\pi)$

Réponse b

Question 19:

Dans le plan complexe, on appelle $A$ le point d’affixe $(-2+3i)$ et $I$ le point d’affixe $(5+6i)$. le symétrique $A$ par rapport au point $I$ a pour affixe :

a) $-9-2i$

b) $\frac{3}{2}-\frac{11}{2}i$

c) $-9+13i$

d) $12+9i$

Correction :

Soit $B$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. On peut écrire

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

On a alors : $z_I-z_A=z_B-z_I$ soit $z_B=2z_I-z_A$

$z_B=2(5+6i)-(-2+3i)=12+9i$

Réponse d

Question 20:

Dans le plan complexe, on considère trois points distincts $A$, $B$, $C$ d’affixes respectives $z_A$,$z_B$, $z_C$ avec : $AB=8 cm$ et :

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3}{4}i$

La longueur du segment [BC] est égale à :

a) 6 cm

b) 8 cm

c) 9 cm

d) 10 cm

Correction :

$\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\left|\frac{3}{4}i\right|=\frac{3}{4}$

On a donc : $\left|z_C-z_A\right|=\frac{3}{4}\times \left|z_B-z_A\right|$

On en déduit : AC=6

Réponse a