Annales Avenir 2019: Q51 à Q60

Avenir 2019: contenu des questions 51 à 60

Cette partie ne contient que 10 questions mais aborde trois thèmes important du programme de terminale S. Parmi ces questions, on dénombre :

Trois questions de trigonométrie: manipulation de formules trigonométriques, résolution d’équations – Q51 à Q53
Cinq questions de probabilités: probabilités conditionnelles, indépendance d’événements, variance d’une variable aléatoire – Q54 à Q58
et deux questions de géométrie dans l’espace: Q59 et Q60

La correction de ces 10 questions est accessible en vidéo et en version détaillée écrite en dessous du QCM.

Consignes du Concours Avenir

Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans es meilleures conditions de réussites de cette épreuve.

Cette épreuve comporte volontairement plus d’exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n’a pas forcément traité l’ensemble du programme de terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n’est distribué, les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à cet effet. L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit. Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n’est autorisé.

Attention, il ne s’agit pas d’un examen mais bien d’un concours qui aboutit à un classement. Si vous trouvez ce sujet difficile, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n’abandonnez pas, restez concentré(e).

Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!

Barème:

Une seule réponse exacte par question. Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points, tandis que chaque fausse réponse est pénalisée par le retrait de 1 point.

Annales avenir 2019: correction vidéo

Pour valider vos réponses et votre raisonnement, on vous propose 3 vidéos courtes sur chacun des thème abordés.

Si cela n’est pas suffisant, on a également édité une correction détaillée écrite en dessous de ces vidéos.

Avenir 2019: correction détaillée par question

Partie Trigonométrie: Q51 à Q53

Question 51:

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points du cercle trigonométrique A et B de coordonnées respectives : $(\cos\frac{2\pi}{3};\sin\frac{2\pi}{3})$ et $(\cos\frac{11\pi}{6};\sin\frac{11\pi}{6})$.
Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont:

a) nulles

b) opposées

c) égales

d) inverses l’une de l’autre

Correction:

On traduit les coordonnées des point A et B.

$A(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ et $B(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})$

Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont alors:

$x_I=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

et $y_I=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

Les coordonnées sont égales

Réponse c

Question 52:

Parmi les formules suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a) $cos(cos(2a))=\cos((\cos a)^2)\sin((\sin a)^2))+\sin((\cos a)^2)\cos((\sin a)^2)$

b) $cos(cos(2a))=\cos((\cos a)^2)\sin((\sin a)^2))-\sin((\cos a)^2)\cos((\sin a)^2)$

c) $cos(cos(2a))=\cos((\cos a)^2)\cos((\sin a)^2))+\sin((\cos a)^2)\sin((\sin a)^2)$

d) $cos(cos(2a))=\cos((\cos a)^2)\cos((\sin a)^2))-\sin((\cos a)^2)\sin((\sin a)^2)$

Correction:

Pour répondre à cette question, il faut avoir en tête le formulaire de trigonométrie :

$cos(2a)=cos^2a-sin^2a$

$cos(a-b)=cos(a)\times cos(b)+sin(a)\times sin(b)$

on a alors :

$cos(cos(2a))=cos(cos^2a-sin^2a)$

$cos(cos(2a))=cos(cos^2a)\times cos(sin^2a)+sin(cos^2a)\times sin(sin^2a)$

Réponse c

Question 53:

Combien de solutions appartenant à l’intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ l’équation ; $2(\sin x)^2+3\cos x=3$ possède-t-elle ?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Correction :

Là encore, il faut connaître une des formules de trigonométrie :

$cos^2x+sin^2x=1$

soit : $sin^2x=1-cos^2x$

On remplace alors dans l’équation donnée: $2(1-cos^2x)+3cos\: x=3$

L’équation devient : $-2cos^2(x)+3cos(x)-1=0$

Il faut effectuer un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré :

On pose $X=cos(x)$

et on résout alors : $-2X^2+3X-1=0$

On calcule : $\Delta=9-4\times (-2)\times (-1)=1$

L’équation admet deux racines réelles distinctes :

$X=\frac{1}{2}$ et $X=1$

Or $cos(x)= \frac{1}{2}$ ssi $x=\frac{\pi}{3} (2\pi)$ ou $x=-\frac{\pi}{3} (2\pi)$

et $cos(x)=1$ ssi $x=0 (2\pi)$

Il y a donc que 3 solutions dans $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$

Réponse d

Partie Probabilités: Q54 à Q58

Question 54:

On considère l’arbre de probabilités suivant :

Sachant que $p(B)=0,64$, que vaut $p(A\cap \bar{B})$ ?

a) 0,12

b) 0,08

c) 0,16

d) 0,42

Correction:

On calcule $p(\bar{B})= 1-p(B)=0,36$

A l’aide de l’arbre pondéré, on détermine facilement : $p(\bar{A}\cap\bar{B})= 0,8\times 0,3=0,24$

Et avec la formule des probabilités totales, on en déduit:

$p(A\cap\bar{B})=p(\bar{B})-p(\bar{A}\cap\bar{B})=0,12$

Réponse a

Question 55:

Une première urne $U_1$ contient k boules rouges et 2k+1 boules bleues avec k entier naturel non nul. Une deuxième urne $U_2$ contient 4 boules rouges et 5 boules bleues. Le jeu consiste à tirer aléatoirement une boule dans $U_1$ puis de la verser dans $U_2$ avant d’effectuer un deuxième tirage aléatoire d’une boule dans $U_2$ . On appelle R l’événement « Obtenir une boule rouge à l’issue du deuxième tirage ».
sachant que $p(R)=0,43$, quelle est l’affirmation exacte parmi les quatre suivantes:

a) k divise $k^2-2$

b) k divise 12

c) k divise 10

d) k divise $k^2-4$

Correction :

Soient les événements :

$R_i$: « Une boule rouge est tirée au $i^{ème}$ tirage »
$B_i$: « Une boule bleue est tirée au $i^{ème}$ tirage »

On a alors :

$p(R)=p(R_1\cap B_2)+p(B_1\cap R_2)$

$p(R)=\frac{k}{3k+1}\times \frac{5}{10}+\frac{2k+1}{3k+1}\times \frac{4}{10}$

$p(R)=\frac{13k+4}{10(3k+1)}=0,43$

D’où l’équation à résoudre pour déterminer la valeur de $k$:

$13k+4=12,9k+4,3$ soit $k=3$

Parmi les propositions, $k$ divise 12.

Réponse b

Question 56:

Soient A et B deux événements indépendants tels que $p(A\cap B)=0,32$ et $p(B)=p(A)$.
La probabilité de l’événement B est égale à :

a) 0,04

b) 0,08

c) 0,16

d) 0,8

Correction :

A et B sont indépendants donc, on peut écrire : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=2p(A)^2$

On a alors :$p(A)^2=0,16$ soit $p(A)=0,4$

On en déduit que : $p(B)=0,8$

Réponse d

Question 57:

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 800 et p. Sachant que $p<0,5$ et que $V(X)=128$ où V(X) désigne la variance de X, on peut affirmer que :

a) p=0,05

b) p=0,1

c) p=0,2

d) p=0,25

Correction :

Pour la loi binomiale, $V(X)=np(1-p)$

ici : n=800 et V(X)=128. On a alors l’équation suivante à résoudre:

$800p(1-p)=128$ soit à résoudre : $p-p^2=0,16$

La seule réponse possible est p=0,2.

Réponse c

Question 58:

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 2 et $p$, où $p\in [0;1]$.
Sachant que $p(X=1)=\frac{1}{2}$, on peut affirmer que le réel p est égal à :

a) 0

b) $\frac{1}{2}$

c) $\frac{1}{4}$

d) 1

Correction :

Avec l’expression de la loi binomiale, on trouve que :

$p(X=1)=2p(1-p)$

Comme $p(X=1)=0,5$ on en déduit qu’il faut résoudre : $p(1-p)=0,25$

La seule réponse possible est p=0,5

Réponse c

Partie Géométrie dans l’Espace: Q59 & 60

Question 59:

On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. Soit (P) le plan dont une équation paramétrique est :
$x= 2+t+t’$
$y=-2t+3t’$
$z=-2+t-5t’$
avec $t\in \mathbb{R}$ et $t’\in \mathbb{R}$
Parmi les points suivants, lequel n’appartient pas à (P) ?

a) A(2:-5:0)

b) B(4;1;-6)

c) C(2;0;2)

d) D(3;-7;5)

Correction:

Grâce à l’équation paramétrique du plan, nous pouvons tout de suite exclure le point C. Malheureusement, pour les autres points , il n’y a pas de technique miracle. Il faut:

soit tester les 3 points dans l’équation paramétrique
soit déterminer l’équation cartésienne du plan.

Nous allons ici déterminer une équation cartésienne du plan pour ensuite tester les points A, B et D.

Une méthode consiste à déterminer un vecteur normal au plan.

Pour cela, nous avons besoin de deux vecteurs directeur du plan. Et nous les connaissons grâce à l’équation paramétrique :

$\vec{u}(1;-2;1)$ et $\vec{v}(1;3;-5)$, posons $\vec{n}(a;b;c)$

On a alors:

$\vec{n}.\vec{u}=0$ et $\vec{n}.\vec{v}=0$

ce qui nous donne deux équations à 3 inconnues :

$L_1:\:\:a-2b+c=0$ et

$L_2:\:\:a+3b-5c=0$

En réalisant l’opération $L_2-L_1$ on élimine a, ce qui permet d’exprimer b en fonction de c. On obtient :

$5b-6c=0$ soit $b=\frac{6}{5}c$

En réalisant l’opération $3L_1+2L_2$ on élimine b, ce qui permet d’exprimer a en fonction de c. On obtient :

$5a-7c=0$ soit $a=\frac{7}{5}c$

On pose : c=5 et on obtient a=7 et b=6

L’équation du plan est donc : $(P):\: 7x+6y+5z+d=0$

On détermine d en utilisant les coordonnées du point C:

On trouve d= -4

$(P): 7x+6y+5z-4=0$

On teste alors les points :

Avec les coordonnées de A :

$7\times 2-6\times 5-4=-20 \ne 0$

Le point A n’appartient pas au plan.

Réponse a

Question 60:

On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. soient A(1;2;3) et B(3;2;1). L’ensemble des points de l’espace équidistants de A et B est:

a) uniquement constitué du point I(2;2;2)

b) une droite passant par le point I(2;2;2)

c) le cercle de centre I(2;2;2) et de rayon $\frac{AB}{2}$

d) un plan passant par le point I(2;2;2)

Correction :

Dans cette question, pour ceux qui connaissent leur cours, on repère vite que l’on nous donne la définition d’un plan médiateur. La réponse est donc immédiate.

Pour ceux qui le souhaitent, vous pouvez valider que I est bien le milieu du segment [AB]

Réponse d