E3C 02597 corrigé intégral

La réforme du bac 2021 fait la part belle au contrôle continu avec les E3C. Afin de te préparer aux E3C de l’enseignement de spécialité en mathématiques, tu trouveras, sur cette page la correction du sujet 02597

Tout comme les sujets “spécimens” fournis par le Ministère de l’Education Nationale, cet examen comporte 4 exercices sur des thèmes différents.

Le sujet de maths 02597 dans le détail

  • De la même façon que dans les spécimens, le premier exercice est un QCM sans point négatif. Aucune justification n’est demandée  et le QCM aborde deux chapitres majeurs du programme : produit scalaire et dérivation
  • L’exercice 2 aborde le thème des fonctions, et, notamment, celui de la fonction exponentielle
  • Tu apprécies le chapitre sur les suites numériques ? Alors l’exercice 2 est fait pour toi !
  • Quant à  l’exercice 4, celui-ci fait appel à tes connaissances sur le thème des suites numériques. On y retrouve, également, une question de programmation en langage Python

Si tu ne le possèdes pas déjà, tu peux télécharger le sujet 02597 intégral

On vous invite, maintenant à découvrir la correction du sujet 02597, exercice par exercice

QCM: produit scalaire et dérivation

L’exercice comporte:  
  • 3 questions sur le produit scalaire
  • 2 questions sur la notion de dérivation à l’aide d’une exploitation graphique

Pour faciliter vos révisions de maths, nous avons mis en ligne la version quiz auto-correctif du QCM 02597.

 

Fonction et application économique

Cet exercice te propose d’étudier une fonction exponentielle au travers d’une fonction bénéfice. Résolution d’inéquation et variations sont au programme de cet exercice.

Ex  2: étude d’une fonction résultat

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre 200 et 2 000 litres de produit par semaine. Le résultat, en dizaines de milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de 𝑥 centaines de litres est donné par la fonction 𝑅 définie par :

$R(x)=(5x-30)e^{-0,25x}$ , pour tout réel 𝑥 ∈ [2; 20].

  1. Calculer le résultat réalisé par la fabrication et la vente de 7 centaines de litres de produit. On l’arrondira à l’euro près.
  2. Vérifier que pour la fabrication et la vente de 400 litres de produit, l’entreprise réalise un résultat négatif (appelé déficit).
  3. Résoudre l’inéquation 𝑅(𝑥) ≥ 0, d’inconnue 𝑥. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
  4. On note 𝑅 ′ la dérivée de la fonction 𝑅.
    Un logiciel de calcul formel donne : $R'(x)=(-1,25x+12,5)e^{-0,25x}$
    En déduire la quantité de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour réaliser le résultat maximal.

 

Correction de l’étude de fonction 02597

  1. On calcule R(7)

$R(7)=(5\times 7-30)e^{-0,25\times 7}=13,033$

Le résultat pour la production et la vente de 700 litres est de 13,033 milliers d’euros soit 13 033 euros.

2. Pour vérifier que le résultat est négatif, il suffit de calculer R(4) puisque $x$ s’exprime en centaines de litres.

$R(4)=(5\times 4 -30)e^{-0,25\times 4}=-10e^{-1}$

Ce résultat est strictement négatif. Donc l’entreprise est en déficit pour 400 litres produits et vendus.

3. On cherche à résoudre $R(x)\geq 0$ dans l’intervalle [2;20]. 

Pour tout $x\in [2;20]$ $e^{-0,25x}>0$, R est donc du signe de $(5x-30)$ sur [2;20]

Résolvons l’inéquation $5x-30\geq 0$

$5x-30\geq 0$ équivaut à $x\geq 6$

On a donc $R(x)\geq 0$ pour $x\in [6;20]$

Cela signifie que l’entreprise réalise un bénéfice pour une quantité produite et vendue comprise entre 600 et 2 000 litres de produit.

4. Dans cette question, on nous demande de déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal. Cela revient à étudier la fonction R sur l’intervalle [2;20]. Nous allons donc réaliser l’étude du signe de la dérivée qui est donnée dans l’énoncé de la question.

$R'(x)=(-1,25x+12,5)e^{-0,25x}$

On sait que pour tout $x\in [2;20]$, $e^{-0,25x}>0$. $R’$ est donc du signe de $(-1,25x+12,5)$.

Résolvons $-1,25x+12,5>0$

$-1,25x+12,5>0$ 

$-1,25x>-12,5$

soit $x<10$

La fonction R est donc croissante sur [2;10] et décroissante sur [10;20].

On en déduit que le bénéfice maximal est obtenu pour $x=10$ soit pour une quantité produite et vendue égale à 1 000 litres.

Suites numériques et langage Python

Voici un exercice très classique sur le thèmes des suites numériques. Si tu connais ton cours, il se résout sans difficulté. C’est, également, dans cet exercice que se trouve l’interprétation d’un programme en language python.

Ex 3: les suites pour la vente de journaux

Lors du lancement d’un hebdomadaire, 1 200 exemplaires ont été vendus.
Une étude de marché prévoit une progression des ventes de 2 % chaque semaine.
On modélise le nombre d’hebdomadaires vendus par une suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus durant la 𝑛-ième semaine après le début de l’opération.
On a donc $u_0=1200$

1. Calculer le nombre $u_2$. Interpréter ce résultat dans le  contexte de l’exercice.
2. Écrire, pour tout entier naturel 𝑛, l’expression de $u_n$ en fonction de 𝑛.
3. Voici un programme rédigé en langage Python :

def suite( ) :
  u = 1200
  S = 1200
  n = 0
  while S < 30000 :
    n = n+1
    u = u*1.02
   S=S+u
  return(n)

Le programme retourne la valeur 30. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Déterminer le nombre total d’hebdomadaires vendus au bout d’un an.

Correction de l’exercice de suites

1. On connait $u_0$ et on sait que les ventes augmentent de 2% chaque semaine. On a donc:

$u_1=u_0\times (1+\frac{2}{100}=1224$

$u_2=u_1\times (1+\frac{2}{100}=1248$

La deuxième semaine après le lancement de l’hebdomadaire, il s’est vendus 1248 exemplaires.

2. Les ventes suivent une augmentation de 2% de semaines en semaines. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1+\frac{2}{100}=1,02$ et de premier terme $u_0=1200$.

On peut donc écrire que:

$u_n=u_0\times q^n$ soit $u_n=1200\times 1,02^n$

3. Le programme calcule la somme des termes de la suite $(u_n)$ et continue de s’exécuter tant que cette somme n’excède pas 30000. Cela signifie donc que la valeur retournée de $n$ correspond au rang de la suite pour lequel la somme des termes dépasse la valeur 30000.

Dans le contexte de l’exercice, il faut donc 30 semaines pour que le nombre cumulé d’exemplaires vendus de l’hebdomadaire depuis son lancement dépasse 30000.

4. On souhaite calculer le nombre d’exemplaires vendus en une année. l faut donc calculer la somme des termes de la suite pour 52 semaines. Soit la somme:

$S=u_0+u_1+…+u_{52}$

On applique la formule pour la somme des termes d’une suite géométrique:

$S=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$S=1200\times\frac{1-1,02^{53}}{1-1,02}=111380$

Au bout d’un an, il s’est vendu 11 380 exemplaires de l’hebdomadaire.

Thème des probabilités

Majoritairement orienté autour des probabilités conditionnelles, on trouve néanmoins une question relative aux répétitions d’expériences. C’est donc un très bon exercice pour s’entraîner.