Résoudre des équations avec la fonction exponentielle : exercice corrigé pas à pas (Première / Terminale Spé Maths)

Tu vois une équation avec $e^x$ et tu ne sais pas par où attaquer. Aujourd’hui, je te propose d’apprendre à résoudre des équations avec la fonction exponentielle. La méthode pour résoudre une équation exponentielle repose sur deux réflexes que tu connais déjà : ramener à zéro, puis factoriser. On applique ça ici sur un exercice complet.

👇 Tu préfères regarder ? La vidéo est juste là!

Le préalable qu’on oublie souvent : définir le domaine

L’équation à résoudre est

$(x^2 + 2x – 3) \cdot e^x = e^x$

Quand aucun domaine n’est précisé dans l’énoncé, tu dois le définir toi-même. Ici, le membre gauche est le produit d’un polynôme du second degré par $e^x$, et le membre droit est $e^x$. Les deux sont définis sur R. Le domaine de résolution est donc R.

Ce réflexe est un prérequis. Sans lui, tu ne peux pas conclure sur la validité de tes solutions à la fin.

Comment résoudre une équation exponentielle : la méthode pas à pas

Étape 1 : ramener à zéro

On fait passer $e^x$ du membre droit vers le membre gauche :

$(x^2 + 2x – 3) \cdot e^x – e^x = 0$

Étape 2 : factoriser par e^x

$e^x$ est un facteur commun. On factorise :

$e^x \cdot (x^2 + 2x – 3 – 1) = 0$

$e^x \cdot (x^2 + 2x – 4) = 0$

On obtient une équation produit nul : A × B = 0, ce qui revient à dire que soit A = 0, soit B = 0.

Étape 3 : traiter chaque facteur

Premier facteur : $e^x = 0$. Cette équation n’a pas de solution. La fonction exponentielle est strictement positive sur R, donc $e^x$ ne s’annule jamais.

Deuxième facteur : $x^2 + 2x – 4 = 0$. C’est un trinôme du second degré classique. On calcule le discriminant avec a = 1, b = 2, c = -4 :

$\Delta = 4 + 16 = 20$

Delta est strictement positif, donc deux solutions réelles distinctes :

$x_1 = \frac{-2 – \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 – 2\sqrt{5}}{2} = -1 – \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{2} = -1 + \sqrt{5}$

Étape 4 : conclure sur l’ensemble des solutions

Les deux solutions appartiennent à R, qui est notre domaine de résolution. L’ensemble des solutions de l’équation est donc

${-1 – \sqrt{5} \; ; \; -1 + \sqrt{5}}$

Ce que cet exercice t’apprend pour la suite

Résoudre des équations avec la fonction exponentielle revient presque toujours à ce même enchaînement : ramener à zéro, factoriser par $e^x$, éliminer le facteur exponentiel qui ne s’annule jamais, puis résoudre ce qui reste. En Terminale, tu retrouveras exactement cette logique dans des exercices plus complexes, notamment quand l’équation fait intervenir une étude de signe ou une inéquation.

Maîtriser cette résolution d’équation exponentielle, c’est aussi sécuriser les exercices de type tableau de variations où on cherche les zéros de la dérivée.

Tu sens des lacunes qui s’accumulent sur la fonction exponentielle ?

Ce n’est pas toujours évident de repérer seul où ça coince vraiment. Je propose un bilan personnalisé gratuit pour faire le point sur ce qui bloque et voir comment avancer efficacement.

Pour aller plus loin

Ce type d’équation est une base.

Mais ensuite, tu vas enchaîner avec :

• les dérivées
• les variations
• les équations plus complexes

Donc si ça, ce n’est pas solide… tu bloques après.

Résoudre des équations avec la fonction exponentielle: questions

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Il faut se ramener à une équation égale à 0, factoriser, puis utiliser la règle du produit nul.

Est-ce que $e^x = 0$ est possible ?

Non. La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

Equations avec exponentielle: pourquoi factoriser par $e^x$ ?

Parce que c’est le facteur commun qui permet de transformer l’équation en équation produit nul.

Comment savoir s’il faut utiliser un discriminant ?

Dès que tu obtiens un polynôme du second degré, tu appliques la méthode classique avec le discriminant.

Quelle est l’erreur la plus fréquente ?

Oublier que $e^x \neq 0$ et garder une fausse solution.