Bac Asie 2026 sujet corrigé

Cet exercice est extrait du Sujet Asie 2026 et porte sur l’étude d’une fonction trigonométrique. Tu vas travailler les dérivées, les variations et l’interprétation graphique d’une fonction faisant intervenir le sinus ou le cosinus. Un excellent entraînement pour maîtriser les méthodes attendues au baccalauréat.

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Une belle fonction trigonométrique à étudier

1. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0\,;2\pi]$ par :

$$g(x)=x\cos(x)-\sin(x)$$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0\,;2\pi]$ et on note $g’$ sa dérivée.

a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\,;2\pi]$, on a :$$g'(x)=-x\sin(x).$$b. On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0\,;2\pi]$ ci-dessous.

Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

c. Montrer qu’il existe une unique valeur réelle $\alpha$α dans l’intervalle telle que $g(\alpha)=0$.

d. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0\,;2\pi]$.

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2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0\,;2\pi]$ par :$$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$$On admet que la fonction $f$f est dérivable sur et on note $f’$ sa dérivée.

a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0\,;2\pi]$, on a :$$f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}.$$b. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0\,;2\pi]$.

c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0\,;2\pi]$.

d. Déterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra utiliser le taux d’accroissement de la fonction sinus en $0$.

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3. On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l’inégalité :$$0<r<s<\pi.$$

Montrer que :$$\frac{r}{s}<\frac{\sin(r)}{\sin(s)}.$$