La fonction exponentielle est ton amie (mais je n’en dirais pas autant de la fonction logarithme népérien…).
C’est une phrase que je répète depuis plus de 20 ans à mes élèves et que je leur fais bien volontiers répéter !
Et crois-moi, si tu intègres cette phrase, tout va te sembler beaucoup plus simple avec cette fonction…
Patiente un peu, je vais t’expliquer pourquoi tu dois vraiment la considérer comme telle.
Pourquoi tu bloques avec la fonction exponentielle ?
Avec l’expérience, je me suis rendue compte que ce n’est pas tant les particularités de la fonction exponentielle qui posent problème que le fait qu’on introduise une nouvelle fonction avec une lettre e…
Une simple « petite » lettre et tu te mets à bloquer sur :
- l’utilisation des propriétés
- le calcul de dérivée
- le calcul de limites
- la résolution d’équation
- les études de fonction en général
Et pourtant… La fonction exponentielle n’est pas si terrible que ça. Bien au contraire !
Pourquoi la fonction exponentielle est ton amie ?
La fonction exponentielle ne te veut vraiment aucun mal. En voici la preuve :
- tout d’abord, c’est une fonction qui est définie pour tout x réel. Ça signifie donc que son domaine de définition ne pose pas de difficultés
- ensuite, cette fonction est toujours strictement positive. Et honnêtement, traiter avec des nombres qui sont toujours positifs, c’est plutôt une bonne chose
- après, elle a la particularité de se dériver en elle-même. Et hop ! Une formule en moins à retenir. Plutôt cool, non ?
- enfin, si tu as du mal à retenir les propriétés de calcul, voilà un truc à retenir : ce sont tout simplement les mêmes propriétés algébriques que les puissances. Donc ce sont des choses connues depuis la classe de 4ème. Que voilà une bonne nouvelle, tu n’as rien de nouveau à apprendre !
Ça fait quand même quatre bonnes raisons de considérer que la fonction exponentielle est ton amie.
Elle simplifie tellement les raisonnements que tu peux presque oublier qu’elle est là.
Et ça, c’est une énorme différence avec d’autres fonctions.
Parce que ça veut dire que, dans beaucoup de cas, tu peux te concentrer uniquement sur le reste.
Et tout le reste, ça signifie les savoir-faire fondamentaux que tu dois maîtriser.
Les savoir-faire fondamentaux avec la fonction exponentielle
Maintenant, concrètement, qu’est-ce que tu dois savoir faire avec la fonction exponentielle ?
Parce que comprendre que l’exponentielle est ton amie, c’est bien.
Mais savoir l’utiliser, c’est ça qui va vraiment te débloquer.
Et c’est même le cœur du sujet…
À quoi servent toutes ces choses que tu sais ?
Pour t’en sortir, voilà les choses que tu dois maîtriser en priorité :
Propriétés algébriques de l’exponentielle : pour quoi faire ?
Tu dois impérativement maîtriser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Celles-ci te permettent de transformer l’expression d’une fonction.
Et, à ce sujet, il y a au moins deux applications importantes :
- le calcul de dérivées
- ainsi que le calcul de limites
Il n’y a rien de compliqué à manipuler les propriétés de calcul de l’exponentielle. Par contre, elles te seront d’une grande aide pour lever les indéterminations de limites ou transformer l’écriture d’une dérivée.
Maîtriser les études de signes
Pourquoi est-ce important de maîtriser les études de signes avec l’exponentielle ? Pose-toi la question : dans quel type de questions peux-tu avoir besoin de déterminer un signe ?
- pour étudier le signe d’une dérivée afin de déterminer les variations de la fonction
- ou encore résoudre une équation ou une inéquation
Tu as retenu que la fonction est toujours strictement positive. Donc si tu bloques sur les études de signes, c’est que ton problème est ailleurs…
Peut-être sur :
- la maîtrise du second degré
- ou la maîtrise de la fonction logarithme népérien
- et l’horrible fonction racine carrée !
Savoir résoudre une équation exponentielle
J’y viens enfin ! Certainement la compétence la plus difficile à acquérir car il y a pas mal de cas de figure…
Quoi qu’il en soit, comme la fonction exponentielle ne s’annule jamais, la difficulté réside dans :
- le calcul littéral : ta capacité à factoriser correctement une expression ou à développer
- la maîtrise des bases des équations depuis la classe de 3ème
- et, évidemment, ton aptitude à manipuler les propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Les fonctions composées de l’exponentielle…
… Est-ce tout aussi simple ?
Honnêtement ? Presque !
Ce type d’exponentielle intervient principalement dans des études de fonctions complètes.
Et, à part une formule de dérivation à connaître, rien ne change. Les propriétés de calcul, le signe de l’exponentielle, tout ça est conservé.
Alors, prêt à adopter cette fonction comme nouvelle amie ?
Questions fréquentes sur la fonction exponentielle
Pourquoi la fonction exponentielle est-elle toujours positive ?
La fonction exponentielle est toujours strictement positive, quel que soit le réel x.
Concrètement, ça veut dire qu’elle ne change jamais le signe d’un produit ou d’une expression.
Et ça, c’est une énorme aide dans les études de signes ou de variations.
Pourquoi dit-on que la fonction exponentielle simplifie les calculs ?
Parce qu’elle ne complique jamais les raisonnements.
Elle se dérive en elle-même, elle est toujours positive et ses propriétés sont les mêmes que celles des puissances.
Dans beaucoup de cas, tu peux presque l’oublier et te concentrer sur le reste.
Comment ne plus bloquer sur la fonction exponentielle ?
Tu ne bloques pas vraiment sur la fonction exponentielle.
Tu bloques sur :
- les propriétés de calcul
- les bases de calcul littéral
- ou certaines méthodes
Si tu maîtrises ces points, la fonction exponentielle devient beaucoup plus simple à utiliser.
Quelles sont les compétences à maîtriser avec la fonction exponentielle ?
Les principales compétences sont :
- savoir manipuler les propriétés algébriques
- savoir étudier un signe
- savoir résoudre une équation
C’est en maîtrisant ces savoir-faire que tu deviens à l’aise avec ce chapitre.