Amérique du nord 2026 1ere spé maths fonction exponentielle

Tu prépares l’épreuve anticipée de spécialité mathématiques et tu veux vérifier ta méthode sur un sujet récent ? Dans cette vidéo, je te propose la correction complète de l’exercice 3 du sujet Amérique du Nord 2026 1ère spé maths. Nous allons étudier une fonction exponentielle, calculer sa dérivée, déterminer ses variations et identifier sa tangente horizontale.

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Comment dériver la fonction exponentielle du bac Amérique du Nord 2026

On étudie la fonction :

$f(x)=(4x-4)e^{-0,5x}+5$

L’énoncé précise directement que la fonction est dérivable sur ℝ. On n’a donc pas besoin de le démontrer.

La première chose à faire consiste à repérer la structure de la fonction.

Ici, on reconnaît un produit entre :

$u(x)=4x-4$

et

$v(x)=e^{-0,5x}$

Je peux donc utiliser la formule de dérivation d’un produit :

$(uv)’=u’v+uv’$

On commence par calculer les dérivées de chaque facteur.

Pour le polynôme :

u'(x)=4

Pour la fonction exponentielle, il faut connaître la formule suivante :

$(e^{ax+b})’=ae^{ax+b}$

On obtient donc :

$v'(x)=-0,5e^{-0,5x}$

Je peux maintenant appliquer la formule du produit :

$f'(x)=4e^{-0,5x}+(4x-4)(-0,5)e^{-0,5x}$

L’avantage ici, c’est que l’exponentielle apparaît dans les deux termes.

Je peux donc la mettre en facteur.

Pourquoi ? Parce que la forme factorisée sera beaucoup plus facile à exploiter pour l’étude du signe.

Après réduction, on obtient :

$f'(x)=(-2x+6)e^{-0,5x}$

Et c’est exactement la forme que l’on voulait obtenir.

Pourquoi la forme factorisée de la dérivée est indispensable

Beaucoup d’élèves s’arrêtent une fois la dérivée calculée.

En réalité, le calcul n’était qu’une étape intermédiaire.

La dérivée va maintenant servir à étudier les variations de la fonction.

Et pour étudier un signe, une forme factorisée est beaucoup plus pratique qu’une forme développée.

Ici :

$f'(x)=(-2x+6)e^{-0,5x}$

On remarque que la dérivée est le produit de deux facteurs.

Le premier est un polynôme du premier degré.

Le second est une fonction exponentielle.

Or la fonction exponentielle est ton amie.

Quel que soit le réel x :

$e^{-0,5x}>0$

C’est indispensable de le rappeler. Pourquoi ? Parce que cela signifie que l’exponentielle ne changera jamais le signe de la dérivée.

On peut donc conclure immédiatement que f’ est du signe de : -2x+6

Toute l’étude du signe se ramène donc à une simple inéquation du premier degré.

Étudier les variations de la fonction exponentielle

On cherche maintenant quand :

-2x+6≥0

On obtient :

-2x≥-6

Attention, gros warning. On divise par un nombre négatif. Le sens de l’inégalité change.

On obtient donc :

x≤3

Cela permet de conclure :

• si x est inférieur ou égal à 3, alors f'(x) est positif ou nul ;
• si x est supérieur ou égal à 3, alors f'(x) est négatif ou nul.

Je peux maintenant dresser le tableau de variations.

La fonction est :

• croissante sur ]-∞ ; 3] ;
• décroissante sur [3 ; +∞[.

La valeur x=3 joue donc un rôle particulier puisqu’elle annule la dérivée.

Pour compléter le tableau, il faut calculer l’image de 3 :

$f(3)=(4×3-4)e^{-0,5×3}+5$

Après simplification :

$f(3)=8e^{-1,5}+5$

Cette valeur correspond au maximum de la fonction.

Comment trouver la tangente horizontale de cette fonction exponentielle

La dernière question de l’exercice concerne la tangente horizontale. Là encore, il faut faire le lien avec la dérivée.

Une tangente horizontale possède un coefficient directeur nul. Or le coefficient directeur d’une tangente est le nombre dérivé.

La question revient donc à résoudre :

f'(x)=0

On remplace par l’expression obtenue :

$(-2x+6)e^{-0,5x}=0$

Une exponentielle ne s’annule jamais.

Il ne reste donc qu’à résoudre :

-2x+6=0

On obtient :

x=3

La courbe admet donc une unique tangente horizontale.

Comme nous avons déjà calculé f(3), les coordonnées du point de tangence sont :

$A(3 ; 8e^{-1,5}+5)$

L’avantage ici, c’est qu’une seule étude de signe permet de répondre à plusieurs questions de l’exercice.

Ce qu’il fallait retenir de cet exercice du bac de maths Amérique du Nord 2026

Cet exercice est un très bon résumé du chapitre sur la fonction exponentielle.

Il fallait savoir :

• dériver un produit ;
• utiliser la formule de dérivation de $e^{ax+b}$ ;
• factoriser une dérivée ;
• exploiter le fait que l’exponentielle est toujours positive ;
• dresser un tableau de variations ;
• déterminer une tangente horizontale.

Tu vois que tout est lié.

Une fois la dérivée correctement calculée et factorisée, le reste de l’exercice devient beaucoup plus accessible.

Tu sens que tu bloques encore sur les fonctions ou sur la dérivation ? Ce n’est pas toujours évident d’identifier seul l’origine du problème. Je propose un bilan personnalisé pour repérer précisément les notions à reconstruire et retrouver une méthode efficace.

Questions fréquentes sur l’exercice 3 Amérique du Nord 2026 1ère Spé

Comment dériver une fonction exponentielle de la forme e^(ax+b) ?

On utilise la formule : e^(ax+b) se dérive en a fois e^(ax+b).

Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours positive ?

Quelle que soit la valeur de x, une exponentielle est strictement supérieure à zéro. Elle ne peut jamais s’annuler.

Comment savoir si une fonction exponentielle est croissante ou décroissante ?

Il faut étudier le signe de sa dérivée. Si la dérivée est positive, la fonction est croissante. Si elle est négative, elle est décroissante.

Comment trouver une tangente horizontale ?

Une tangente horizontale correspond à une dérivée nulle. Il faut donc résoudre l’équation f'(x)=0.

Pourquoi factoriser la dérivée avant d’étudier son signe ?

Parce qu’une forme factorisée permet d’identifier immédiatement les facteurs qui influencent le signe et simplifie fortement les calculs.