Limite de fonction exponentielle : lever une forme indéterminée 0/0

Tu tombes sur une limite avec une fonction exponentielle et tout semblait bien parti… jusqu’au moment où tu obtiens une forme indéterminée $0/0$ ? C’est exactement le type de situation qui bloque beaucoup d’élèves en Terminale spé maths.

Le problème, c’est qu’ici les méthodes classiques ne fonctionnent pas directement. On ne peut pas simplifier facilement. On ne peut pas factoriser proprement. Donc il faut avoir le bon réflexe.

Et justement, dans cet exercice de limite de fonction exponentielle, on va utiliser une idée très importante du chapitre : le nombre dérivé.

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Pourquoi cette limite de fonction exponentielle donne une forme indéterminée

On cherche à calculer :

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$

C’est parti. On est méthodique.

La première chose à faire dans un calcul de limites, c’est regarder séparément le numérateur et le dénominateur.

Au numérateur :$$\lim_{x \to 0} (e^x – 1)$$

Comme $e^0 = 1$, on obtient :$$1 – 1 = 0$$

Au dénominateur :$$\lim_{x \to 0} x = 0$$

On se retrouve donc avec :$$\frac{0}{0}$$

Et attention, : $0/0$ ne permet pas de conclure directement. C’est ce qu’on appelle une forme indéterminée. Il faut donc transformer l’écriture.

Pourquoi la factorisation ne fonctionne pas ici

Dans beaucoup d’exercices de calcul de limites, on lève une forme indéterminée grâce à une factorisation.

Le problème ici, c’est que l’expression :$$e^x – 1$$

ne se factorise pas facilement.

Donc si tu restes bloqué à chercher une factorisation “magique”, tu risques surtout de perdre du temps.

L’avantage ici, c’est qu’on reconnaît une expression très proche de la définition du nombre dérivé. Et ça, ça change tout.

Comment utiliser le nombre dérivé pour calculer cette limite

Je te rappelle la définition du nombre dérivé.

Si une fonction $f$f est dérivable en $a$a, alors :

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$

Maintenant, on va comparer cette formule avec l’expression qu’on cherche à étudier.

On pose :$$f(x)=e^x$$et on choisit :$$a=0$$On calcule alors :$$f(0)=e^0=1$$Donc :$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{e^x-1}{x}$$Et là, c’est intéressant. Pourquoi ? Parce qu’on vient exactement de faire apparaître l’expression dont on cherche la limite.

On peut donc appliquer directement la définition du nombre dérivé.

Calcul de la limite avec la dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Et surtout, tu as un ami dans ce chapitre : la fonction exponentielle se dérive en elle-même.

Donc :$$f'(x)=e^x$$Ce qui donne :$$f'(0)=e^0=1$$On peut donc conclure :

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Voilà, c’est fini.

On a réussi à lever une forme indéterminée $0/0$ grâce à la définition du nombre dérivé.

Pourquoi cette limite est fondamentale en Terminale spé maths

Cette limite de fonction exponentielle revient partout.

Tu la retrouves :

• dans les exercices de calcul de limites
• dans les démonstrations
• dans les développements limités plus tard
• dans certaines équations différentielles
• dans les exercices type bac

Et surtout, elle montre quelque chose d’important : le chapitre sur les dérivées et le chapitre sur les limites ne sont pas séparés.

Les maths fonctionnent ensemble.

Ici, le nombre dérivé n’est pas seulement utile pour tracer une tangente. Il permet aussi de lever une indétermination et de rendre une limite calculable.

C’est exactement ce qu’il faut comprendre en Terminale : une notion devient vraiment utile quand tu sais dans quel contexte l’utiliser.

Méthode pour calculer une limite de fonction exponentielle avec une forme indéterminée

Quand tu tombes sur une limite avec exponentielle, garde toujours cette logique :

• calculer séparément numérateur et dénominateur
• identifier la forme obtenue
• reconnaître une forme indéterminée
• chercher une transformation adaptée
• vérifier si l’expression ressemble à un taux d’accroissement

La première ligne d’écriture entraîne la deuxième. Donc même si tu ne vois pas toute la solution immédiatement, commence méthodiquement.

Tu bloques souvent sur les calculs de limites ?

C’est souvent un problème de méthode ou de reconnaissance des bons réflexes.

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Tu veux en savoir plus sur la fonction exponentielle?

J’ai quelques vidéos pour t’aider à mieux maîtriser la fonction exponentielle:

• comment dériver un produit avec exponentielle
• étudier les variations d’une fonction exponentielle
• résoudre une équation avec exponentielle

Questions fréquentes sur les limites de fonction exponentielle

Comment calculer une limite de fonction exponentielle ?

On commence toujours par calculer séparément les limites du numérateur et du dénominateur. Ensuite, on identifie si on obtient une forme déterminée ou une forme indéterminée. Si la limite est indéterminée, il faut transformer l’expression avec une factorisation, une conjugaison ou la définition du nombre dérivé.

Pourquoi $\frac{0}{0}$​ est une forme indéterminée ?

Parce qu’on ne peut pas conclure directement sur la valeur de la limite. Certaines expressions de type $0/0$0/0 valent 1, d’autres 0, d’autres encore $+\infty$+∞. Il faut donc transformer l’écriture avant de conclure.

Pourquoi utilise-t-on le nombre dérivé dans cette limite ?

Parce que l’expression :$$\frac{e^x-1}{x}$$correspond exactement au taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0. On peut donc utiliser directement la définition du nombre dérivé.

Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle se dérive en elle-même :$$(e^x)’ = e^x$$C’est une propriété fondamentale du chapitre.

Quelle est la limite de $\frac{e^x-1}{x}$quand $x$ tend vers 0 ?

La limite vaut :$$1$$car cette expression correspond au nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0.