Le chapitre sur le logarithme népérien donne souvent l’impression d’être un gros bloc de formules à apprendre par cœur. Entre les propriétés de calcul, les équations, les limites et les dérivées, beaucoup d’élèves ont l’impression de jongler avec des règles sans vraiment comprendre à quoi elles servent.
Pourtant, quand on prend un peu de recul, ce chapitre repose sur quelques idées essentielles. Si tu maîtrises ces idées, tu peux résoudre une grande partie des exercices de Terminale spécialité maths et aborder le bac avec beaucoup plus de sérénité.
Dans cet article, je te propose une véritable fiche de révision du logarithme népérien terminale spé qui rassemble tout ce qu’il faut connaître.
Comprendre la fonction logarithme népérien en terminale spé
La première chose à connaître concerne la fonction elle-même.
La fonction logarithme népérien est définie uniquement pour les nombres strictement positifs. Son domaine de définition est donc l’intervalle ]0 ; +∞[.
Sa dérivée est égale à 1 sur x. Comme cette dérivée est positive sur tout son domaine, la fonction logarithme népérien est strictement croissante.
Concrètement, cela signifie que plus x augmente, plus ln(x) augmente également.
Deux valeurs doivent être connues immédiatement :
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
Ces deux informations permettent déjà de retrouver les points caractéristiques de la courbe.
Attention, gros warning : le logarithme népérien n’existe que pour des valeurs strictement positives. Cette condition revient constamment dans les exercices de Terminale spé maths.
Connaître les propriétés de calcul du logarithme népérien
Une grande partie des exercices repose sur les propriétés algébriques du logarithme népérien.
La première propriété est celle du produit :
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Pourquoi est-elle importante ? Parce qu’elle permet de transformer une multiplication en addition.
La deuxième concerne le quotient :
ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Cette fois, une division devient une soustraction.
Tu peux retenir facilement l’association :
- multiplication → addition
- division → soustraction
Une autre propriété incontournable concerne les puissances :
ln(aⁿ) = n ln(a)
Elle permet de faire descendre l’exposant devant le logarithme.
On l’utilise régulièrement dans les exercices de probabilités et dans certains calculs de limites.
Tu dois également connaître :
ln(√a) = 1/2 ln(a)
et
ln(1/b) = -ln(b)
Ces transformations d’écriture servent très souvent à simplifier une expression avant un calcul de dérivée ou de limite.
Résoudre les équations avec le logarithme népérien
Lorsqu’un logarithme apparaît dans une équation, il existe deux formes fondamentales à reconnaître.
La première :
ln(a) = ln(b)
équivaut à :
a = b
La deuxième :
ln(a) = b
équivaut à :
a = eᵇ
C’est la base de pratiquement toutes les résolutions d’équations avec le logarithme népérien.
L’avantage ici, c’est que beaucoup d’exercices reviennent finalement à transformer l’écriture pour se ramener à l’une de ces deux situations.
Tu dois également connaître les relations suivantes :
- ln(eˣ) = x
- e^(ln(x)) = x
Pourquoi ? Parce que le logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques.
Si cette relation n’est pas encore totalement claire pour toi, je te conseille de revoir la fonction exponentielle. C’est elle qui sert de fondation à une grande partie du chapitre sur le logarithme népérien.
Maîtriser les limites du logarithme népérien au bac
Les limites constituent un autre savoir-faire incontournable.
Les deux limites usuelles à connaître sont :
- lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers moins l’infini ;
- lorsque x tend vers plus l’infini, ln(x) tend vers plus l’infini.
Ces limites sont utilisées régulièrement dans les études de fonctions.
Mais ce sont surtout les deux limites de comparaison qui permettent de lever les formes indéterminées.
La première affirme que :
ln(x) / xⁿ tend vers 0 lorsque x tend vers plus l’infini.
La seconde affirme que :
xⁿ ln(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
Dans les deux cas, on dit que xⁿ l’emporte sur ln(x).
Cette idée est essentielle. Pourquoi ? Parce qu’elle permet de débloquer de nombreux calculs de limites qui paraissent impossibles au premier regard.
Dériver une fonction de type ln(u)
Au bac, tu rencontreras rarement uniquement ln(x).
La plupart du temps, tu travailleras avec des fonctions composées du type ln(u(x)).
La première étape consiste toujours à déterminer le domaine de définition.
Pour cela, il faut résoudre :
u(x) > 0
C’est indispensable. Pourquoi ? Parce que le logarithme népérien n’existe que pour les valeurs strictement positives.
Une fois le domaine déterminé, la dérivée s’obtient grâce à la formule :
u'(x) / u(x)
Cette formule est utilisée de manière récurrente dans les exercices de Terminale spécialité maths.
C’est probablement l’une des formules de dérivation les plus importantes à maîtriser pour le bac.
Méthode pour réviser efficacement le logarithme népérien avant le bac
Si tu manques de temps, concentre-toi d’abord sur les incontournables :
- le domaine de définition ;
- les propriétés de calcul ;
- les équations de base ;
- les limites usuelles ;
- la dérivée de ln(x) ;
- la dérivée de ln(u(x)).
Ensuite seulement, entraîne-toi à les combiner dans des exercices.
C’est souvent là que les difficultés apparaissent. Ce n’est pas un manque d’intelligence. C’est simplement que plusieurs notions doivent être mobilisées en même temps.
L’objectif n’est donc pas d’apprendre des formules isolées, mais de comprendre à quel moment chacune devient utile.
Tu verras alors que le chapitre est beaucoup plus cohérent qu’il n’en a l’air.
Tu sens que certaines notions restent floues malgré tes révisions ? Je propose un bilan personnalisé gratuit pour identifier précisément les points qui te bloquent et reconstruire les bases nécessaires avant le bac.
Questions fréquentes sur le logarithme népérien terminale spé
Quelles sont les formules de logarithme népérien à connaître pour le bac ?
Les plus importantes sont les propriétés du produit, du quotient, des puissances, ainsi que les relations entre logarithme népérien et fonction exponentielle.
Comment savoir si une fonction logarithme est définie ?
Il faut vérifier que l’expression située à l’intérieur du logarithme est strictement positive.
Quelle est la dérivée du logarithme népérien ?
La dérivée de ln(x) est égale à 1 sur x pour tout x strictement positif.
Comment dériver ln(u(x)) ?
On utilise la formule u'(x) sur u(x), après avoir déterminé le domaine de définition.
Quelles limites du logarithme népérien faut-il connaître ?
Les deux limites usuelles de ln(x) en 0 et en +∞, ainsi que les limites de comparaison montrant que xⁿ l’emporte sur ln(x).
Vidéo : Logarithme népérien terminale spe : TOUT le chapitre sur une feuille A4.