Limite de fonction trigonométrique : utiliser le théorème des gendarmes

Tu tombes sur une limite avec un sinus ou un cosinus et tu bloques immédiatement parce que tu sais que les fonctions trigonométriques sont périodiques ? C’est un réflexe assez classique en Terminale. Et pourtant, certaines limites de fonctions trigonométriques existent bel et bien.

Ici, on va voir comment calculer la limite suivante :

$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin^2(x)}{x}$

Le point clé de cet exercice, c’est l’encadrement. On va utiliser une propriété fondamentale du sinus pour appliquer ensuite le théorème des gendarmes.

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https://youtu.be/Yb8Mn_FoqBU

Pourquoi une fonction trigonométrique pose problème pour les limites

Le premier blocage vient souvent d’ici : les fonctions trigonométriques sont périodiques.

Ça veut dire que les valeurs du sinus se répètent continuellement, à intervalles réguliers. Donc, quand $x$ tend vers plus l’infini, $\sin(x)$ ne se rapproche pas d’un nombre précis. Il oscille sans arrêt entre $-1$ et $1$.

On ne peut donc pas calculer directement une limite de fonction trigonométrique comme on le ferait avec un polynôme ou une fonction exponentielle.

Mais attention : ici, on n’étudie pas seulement $\sin^2(x)$. On étudie un quotient avec $x$ au dénominateur. Et ça change complètement le comportement de la fonction.

L’encadrement indispensable pour calculer la limite d’une fonction trigonométrique

Pour avancer, on utilise une propriété fondamentale du sinus :

$-1\leq \sin(x)\leq 1$

Comme dans notre exercice on a un sinus au carré, on élève tout l’encadrement au carré.

On obtient alors :

$0\leq \sin^2(x)\leq 1$

C’est indispensable. Pourquoi ? Parce que cet encadrement va nous permettre ensuite de faire apparaître le quotient recherché.

Maintenant, on divise toute l’inégalité par $x$.

Comme on cherche une limite en $+\infty$, on considère $x > 0$. Donc le sens des inégalités ne change pas.

On obtient finalement :

$0\leq \frac{\sin^2(x)}{x}\leq \frac{1}{x}$

Et là, on a exactement ce qu’il nous faut pour utiliser le théorème des gendarmes.

Comment appliquer le théorème des gendarmes sur une fonction trigo

On étudie maintenant les deux fonctions qui encadrent notre expression.

À gauche, on a simplement :$$0$$Donc sa limite vaut évidemment 0.

À droite, on a :

$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$

Notre fonction est donc comprise entre deux fonctions qui tendent toutes les deux vers 0.

On peut alors appliquer le théorème d’encadrement, qu’on appelle aussi théorème des gendarmes.

On conclut que :

$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin^2(x)}{x}=0$

Voilà, c’est fini.

Pourquoi cette méthode revient souvent en Terminale spé maths

Les limites avec des fonctions trigonométriques reviennent très souvent avec une idée centrale : exploiter un encadrement connu du sinus ou du cosinus.

Tu as un ami dans ce chapitre : les inégalités classiques.

Dès que tu vois apparaître :

• un sinus
• un cosinus
• une fonction bornée
• un quotient avec un dénominateur qui devient très grand

tu dois penser immédiatement au théorème des gendarmes.

C’est souvent beaucoup plus efficace qu’essayer de manipuler directement la fonction trigonométrique.

L’avantage ici, c’est que la méthode reste toujours la même :

• encadrer
• transformer l’encadrement
• calculer les limites des bornes
• conclure avec le théorème d’encadrement

Et une fois que ce réflexe est installé, beaucoup d’exercices deviennent beaucoup plus accessibles.

Les erreurs fréquentes dans le calcul de limite de fonction trigonométrique

L’erreur la plus fréquente, c’est d’écrire directement que le sinus “tend vers quelque chose” en plus l’infini. Ce n’est pas vrai. Le sinus n’admet pas de limite en l’infini parce qu’il est périodique.

Autre erreur classique : diviser une inégalité par $x$ sans réfléchir au signe de $x$. Ici, ça fonctionne parce qu’on travaille au voisinage de $+\infty$, donc avec des valeurs positives.

Enfin, certains élèves oublient que le carré change l’encadrement. Quand on passe de :$$-1 \leq \sin(x) \leq 1$$à :$$0 \leq \sin^2(x) \leq 1$$le $-1$ disparaît parce qu’un carré est toujours positif.

Tu sens que les limites deviennent floues en Terminale ?

Ce n’est pas toujours évident de savoir exactement où ça bloque : les formes indéterminées, les encadrements, les fonctions trigonométriques, les logarithmes…

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Et j’ai également d’autres vidéos pour toi:

• Comment lever l’indétermination de la limite d’une fonction exponentielle
• Déterminer les limites aux bornes d’une fonction rationnelle
• Calculer la limite d’une fonction racine carrée

Questions fréquentes sur les limites de fonctions trigonométriques

Pourquoi une fonction trigonométrique n’admet-elle pas de limite en l’infini ?

Parce qu’une fonction trigonométrique comme le sinus ou le cosinus est périodique. Elle oscille continuellement et ne se rapproche jamais d’une seule valeur.

Comment calculer la limite d’une fonction trigonométrique ?

On utilise souvent un encadrement avec les propriétés du sinus et du cosinus, puis le théorème des gendarmes.

Pourquoi utilise-t-on le théorème des gendarmes ici ?

Parce que la fonction est comprise entre deux fonctions qui ont la même limite. Cela permet de conclure directement sur la limite recherchée.

Quelle propriété du sinus faut-il connaître absolument ?

Il faut connaître l’encadrement :

$-1\leq \sin(x)\leq 1$

C’est cette propriété qui permet ensuite de construire l’encadrement de la fonction.

Peut-on faire la même chose avec le cosinus ?

Oui. Le cosinus vérifie exactement le même encadrement que le sinus. La méthode reste donc identique.