Vrai faux suites: Asie 2024 (juin sujet 1)

Les exercices de type vrai faux sur les suites sont très fréquents au bac.
Et pourtant, ce sont souvent ceux qui déstabilisent le plus les élèves.

Pourquoi ?

Parce qu’un seul exercice peut mélanger plusieurs raisonnements :

• convergence de suites
• suites géométriques
• limites
• Python
• croissance exponentielle
• intégrales

Le vrai piège, ce n’est donc pas uniquement le calcul.

C’est surtout de reconnaître rapidement quel outil utiliser.

Dans cet exercice issu du sujet Asie 2024 en Terminale spécialité maths, chaque affirmation mobilise un réflexe de méthode différent.

Comment réussir un vrai faux sur les suites ?

Dans ce type d’exercice, beaucoup d’élèves essaient de calculer immédiatement.

Mais le bon réflexe, c’est d’abord :

identifier le chapitre utilisé.

Parce que selon l’affirmation, on peut avoir besoin :

• d’un théorème sur les suites monotones
• d’une limite de suite géométrique
• d’une simulation Python
• d’une somme géométrique
• d’une étude de variations

Une fois que tu reconnais le modèle, le raisonnement devient beaucoup plus clair.

Attention, gros warning : une réponse sans justification ne rapporte quasiment rien au bac.

L’objectif, ce n’est pas seulement de dire “vrai” ou “faux”.

C’est surtout de montrer que tu maîtrises la méthode.

Suite décroissante et convergence

L’affirmation dit :

Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.

Cette affirmation est fausse. Et ici, le piège vient directement du cours.

Le théorème à connaître est :

toute suite monotone et bornée converge.

Donc :

• décroissante
• minorée

permettent bien de conclure à la convergence. Mais absolument pas à la valeur de la limite.

C’est exactement le piège de cette affirmation.Par exemple, la suite :$$u_n=5+\frac1n$$est décroissante et minorée par 0.

Pourtant :$$\lim_{n\to+\infty}u_n=5$$et pas 0.

Le bon réflexe ici était donc :

• reconnaître le théorème de convergence
• puis chercher un contre-exemple

Très souvent, dans un vrai faux, un contre-exemple permet de répondre extrêmement vite.

Limite d’une suite géométrique

On considère :$$u_n=\frac{-9^n+3^n}{7^n}$$L’affirmation dit que :$$u_n\to-\infty$$Cette affirmation est vraie.

Le réflexe indispensable ici est de réécrire les quotients sous forme de puissances.

On obtient :$$u_n=-\left(\frac97\right)^n+\left(\frac37\right)^n$$Et maintenant, tout repose sur les propriétés des suites géométriques.

On sait que :$$\frac97>1$$Donc :$$\left(\frac97\right)^n\to+\infty$$Par conséquent :$$-\left(\frac97\right)^n\to-\infty$$De plus :$$0<\frac37<1$$Donc :$$\left(\frac37\right)^n\to0$$Au final :$$u_n\to-\infty$$Le vrai piège ici était de reconnaître quelle puissance domine l’autre.

Et dans les exercices de limites, c’est souvent ça qui fait toute la différence.

Comprendre une boucle Python pour les suites

On considère maintenant le programme Python suivant :

def terme(N):
    U = 1
    for i in range(N):
        U = U + i
    return U

L’affirmation dit que :

terme(4)

renvoie 7.

Cette affirmation est vraie.

Le réflexe indispensable avec Python est de simuler le programme étape par étape.

Beaucoup d’élèves lisent la boucle trop vite et perdent complètement le fil des variables.

Au départ :

U = 1

Puis :

range(4)

fait prendre à $i$i les valeurs :$$0,\ 1,\ 2,\ 3$$Attention :

4 n’est jamais inclus dans range(4).

C’est un énorme piège classique.

On calcule alors :

• départ : $U=1$
• pour $i=0$ : $U=1$U=1
• pour $i=1$i=1 : $U=2$
• pour $i=2$ : $U=4$
• pour $i=3$ : $U=7$

Le programme renvoie donc bien 7.

Le vrai réflexe à retenir ici est :

faire tourner le programme à la main.

Croissance exponentielle et somme géométrique

On compare maintenant deux gains :

• Prix A : 1000€ par jour pendant 15 jours
• Prix B : une somme qui double chaque jour

L’affirmation dit que le prix A est plus avantageux.

Cette affirmation est fausse.

Et ici, le vrai piège, c’est l’intuition.

Le prix A correspond à une évolution linéaire.

Le prix B correspond à une croissance exponentielle.

Et l’exponentielle devient gigantesque très rapidement.

Pour le prix A :$$A=15\times1000=15000$$Pour le prix B :$$1+2+4+8+\dots+2^{14}$$On reconnaît une somme géométrique.

Le réflexe à avoir est donc :

utiliser la formule de somme géométrique.

On obtient :$$B=\frac{1-2^{15}}{1-2}$$Puis :$$B=32767$$Donc :$$32767>15000$$Le prix B est largement plus avantageux.

Ce type d’exercice montre quelque chose de très important :

notre intuition sous-estime énormément les phénomènes de doublement.

Suite définie par une intégrale

On considère :$$v_n=\int_1^n\ln(x)\,dx$$L’affirmation dit que la suite est croissante.

Cette affirmation est vraie.

Le réflexe ici est de comparer deux termes consécutifs.

On calcule donc :$$v_{n+1}-v_n$$vn+1​−vn​

Grâce à la relation de Chasles :$$v_{n+1}-v_n=\int_n^{n+1}\ln(x)\,dx$$Et maintenant, tout repose sur le signe de :$$\ln(x)$$Pour tout :$$x\geq1$$on a :$$\ln(x)\geq0$$Donc :$$\int_n^{n+1}\ln(x)\,dx\geq0$$Ainsi :$$v_{n+1}-v_n\geq0$$La suite est donc croissante.

Le vrai réflexe à retenir ici est très important :

quand une suite est définie par une intégrale, on compare souvent deux termes consécutifs.

Ce qu’il faut retenir sur les vrai faux suites

Dans ce type d’exercice, le plus difficile n’est pas forcément le calcul.

Le vrai enjeu, c’est surtout :

• reconnaître le bon chapitre
• identifier le bon outil
• utiliser le bon raisonnement

Donc quand tu vois :

• décroissante + minorée → théorème des suites monotones
• puissances → suites géométriques
• boucle Python → simulation pas à pas
• doublement → croissance exponentielle
• suite définie par une intégrale → comparaison de deux termes

tu sais immédiatement quelle direction prendre.

Et ça change complètement la manière d’aborder les vrai faux au bac.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite converge ?

Une suite monotone et bornée converge.

Par exemple :

• croissante et majorée
• décroissante et minorée

permettent de conclure à la convergence.

Pourquoi une suite géométrique peut tendre vers l’infini ?

Tout dépend de la raison.

Si :$$q>1$$alors :$$q^n\to+\infty$$

Comment éviter les erreurs en Python ?

Le plus efficace est de :

• écrire les valeurs prises par les variables
• suivre la boucle ligne par ligne
• simuler le programme à la main

Comment étudier les variations d’une suite définie par une intégrale ?

On compare souvent :$$u_{n+1}-u_n$$Puis on étudie le signe de l’intégrale obtenue.

Tu bloques souvent sur les suites ?

Très souvent, le problème ne vient pas du calcul.

Il manque surtout :

• les automatismes
• les réflexes de méthode
• l’identification du bon chapitre

Et quand ces bases ne sont pas solides, les raisonnements deviennent vite confus.

Rien n’est perdu.

L’objectif, ce n’est pas seulement réussir un vrai faux au bac.

C’est reconstruire une méthode claire pour savoir quel outil utiliser dans chaque situation.