Vrai faux Probabilités: Métropole 2025 (Septembre 1)

Les exercices de type vrai faux en probabilités piègent beaucoup d’élèves.
Pas forcément parce que les calculs sont difficiles.

Mais parce qu’il faut reconnaître rapidement :

• la bonne méthode
• le bon chapitre
• le bon raisonnement

Et dans un seul exercice, tu peux avoir :

• du dénombrement
• des probabilités conditionnelles
• une loi binomiale
• une espérance

Donc le vrai enjeu, ce n’est pas seulement de répondre “vrai” ou “faux”.

C’est surtout de comprendre quelle méthode utiliser.

• Le sujet Asie 2025 (sujet 1 de juin) te permet d’aborder les affirmations de géométries dans l’espace
• Et le sujet Asie 2025 (sujet 1 de septembre) permet de revoir les notions autour des fonctions exponentielles

Pour t’entrainer plus:

Comment réussir un vrai faux en probabilités ?

Le piège classique dans ce type d’exercice, c’est de chercher une formule immédiatement.

Alors qu’en réalité, il faut d’abord identifier la situation.

Pose-toi toujours cette question :

“Quel chapitre suis-je en train d’utiliser ?”

Parce que :

• compter des possibilités → dénombrement
• arbre pondéré → probabilités conditionnelles
• répétition d’expériences → loi binomiale
• moyenne probabiliste → espérance

Une fois que tu identifies ça, le raisonnement devient beaucoup plus simple.

Dénombrement et codes à chiffres

On considère un code composé de 4 chiffres :

• tous distincts
• avec un premier chiffre différent de 0

L’affirmation dit qu’il existe 5040 codes possibles.

Cette affirmation est fausse.

Pourquoi ? Parce que le premier chiffre ne peut pas être 0.

On dispose donc :

• de 9 choix pour le premier chiffre
• puis 9 choix pour le deuxième (tous les chiffres sauf 0)
• puis 8 choix
• puis 7 choix

Le nombre total de codes vaut donc :$$9 \times 9 \times 8 \times 7$$

Ce qui donne :$$4536$$Le piège classique ici, c’est d’oublier la contrainte sur le premier chiffre.

Très souvent, les élèves utilisent directement :$$10 \times 9 \times 8 \times 7$$alors que 0 est interdit au début.

Attention, gros warning :
en dénombrement, une seule contrainte oubliée change complètement le calcul.

Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

On travaille maintenant avec :

• l’achat en ligne
• l’achat au guichet
• le choix ou non de l’audioguide

Ici, le réflexe indispensable est :

faire un arbre pondéré.

On note :

• $A$ : “le visiteur prend l’audioguide”
• $L$ : “le billet est acheté en ligne”

On connaît :$$P(A|L)=0,8$$et :$$P(L)=0,7$$On sait aussi que :$$P(\overline A)=0,32$$Donc la probabilité qu’un visiteur ne prenne pas l’audioguide sachant qu’il a acheté en ligne vaut :$$P(\overline A|L)=1-0,8=0,2$$À partir de là, l’arbre devient indispensable.

Pourquoi ? Parce qu’il permet de visualiser immédiatement :

• les branches
• les probabilités conditionnelles
• les probabilités d’intersection

On calcule alors :$$P(\overline A \cap L)=0,7 \times 0,2$$soit :$$0,14$$Puis, grâce aux probabilités totales :$$P(\overline A)=P(\overline A \cap L)+P(\overline A \cap \overline L)$$On obtient :$$P(\overline A \cap \overline L)=0,18$$Et finalement :$$P(\overline A|\overline L)=\frac{0,18}{0,3}=0,6$$Or :$$0,6 < \frac23$$​L’affirmation est donc fausse.

Le piège classique ici, c’est de mélanger :

• probabilités conditionnelles
• probabilités d’intersection
• probabilités totales

Et c’est exactement pour ça que l’arbre est indispensable.

Savoir utiliser la loi binomiale

On choisit maintenant 12 visiteurs.

Chaque visiteur peut :

• prendre l’audioguide
• ou ne pas le prendre

Et surtout :

les choix sont indépendants.

À partir du moment où tu vois :

• répétition d’expériences
• même probabilité
• indépendance

tu dois immédiatement penser :

loi binomiale.

La probabilité qu’un visiteur choisisse l’audioguide vaut :$$1-0,32=0,68$$On modélise donc la situation par :$$X \sim \mathcal B(12;0,68)$$On cherche la probabilité que exactement 6 visiteurs prennent l’audioguide.

On applique alors la formule binomiale :$$P(X=6)=\binom{12}{6}\times0,68^6\times0,32^6$$Et :$$\binom{12}{6}=924$$Donc :$$P(X=6)=924\times0,68^6\times0,32^6$$Or :$$0,68 \times 0,32 = 0,2176$$Donc :$$P(X=6)=924\times0,2176^6$$L’affirmation est vraie.

Le piège le plus fréquent ici, c’est d’oublier le coefficient binomial.

Et pourtant, c’est lui qui compte le nombre de façons différentes d’obtenir exactement 6 succès.

Espérance et moyenne probabiliste

On travaille maintenant avec une variable aléatoire représentant un temps de parcours.

Attention ici au piège énorme :

les durées ne sont pas toutes dans la même unité.

Il faut d’abord convertir :

• $1h20 = 80$ minutes
• $1h40 = 100$ minutes

Ensuite seulement, on peut calculer l’espérance.

On applique la formule :$$E(X)=\sum x_i \times P(X=x_i)$$Donc :$$E(X)=50\times0,1+80\times0,6+100\times0,3$$Ce qui donne :$$5+48+30$$Puis :$$83$$L’espérance vaut donc 83 minutes.

L’affirmation “77 minutes” est fausse.

L’avantage ici, c’est que l’espérance fonctionne exactement comme une moyenne pondérée en statistiques.

Autrement dit :

sur un grand nombre de visiteurs, la durée moyenne des parcours sera proche de 83 minutes.

Ce qu’il faut retenir sur les vrai faux en probabilités

Dans ce type d’exercice, les calculs ne sont pas le vrai problème.

Le plus difficile, c’est :

• reconnaître le bon modèle
• identifier le bon chapitre
• appliquer la bonne méthode

Donc quand tu vois :

• des possibilités à compter → dénombrement
• un “sachant que” → probabilités conditionnelles
• des répétitions indépendantes → loi binomiale
• une moyenne probabiliste → espérance

tu sais immédiatement quelle direction prendre.

Et ça change complètement la manière d’aborder l’exercice.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Il faut :

• des expériences identiques
• indépendantes
• avec seulement deux issues possibles

et une probabilité constante.

Pourquoi faire un arbre pondéré ?

Parce qu’il permet de visualiser :

• les probabilités conditionnelles
• les intersections
• les probabilités totales

C’est indispensable pour éviter les confusions.

Quelle différence entre une probabilité conditionnelle et une intersection ?

Une probabilité conditionnelle utilise un “sachant que”.

Par exemple :$$P(A|B)$$P(A∣B)

Une intersection correspond à “A et B”.

Par exemple :$$P(A \cap B)$$P(A∩B)

Comment éviter les erreurs en probabilités ?

Le plus important, c’est de :

• nommer les événements
• écrire les formules
• avancer étape par étape

Les erreurs viennent souvent d’un raisonnement non structuré.

Tu bloques régulièrement en probabilités ?

Très souvent, le problème ne vient pas du chapitre lui-même.

Il manque surtout :

• les automatismes
• les méthodes
• la lecture des énoncés
• les réflexes de raisonnement

Et quand ces bases ne sont pas solides, les exercices deviennent vite confus.

Rien n’est perdu.

L’objectif, ce n’est pas seulement réussir un vrai faux.

C’est reconstruire une méthode claire pour aborder les probabilités sereinement.