Vrai-Faux fonction exponentielle: Asie 2025 (Septembre)

Les exercices de type vrai faux sur la fonction exponentielle piègent beaucoup d’élèves.
Pourquoi ? Parce qu’ils mélangent plusieurs chapitres dans le même exercice :

• dérivation
• équation différentielle
• convexité
• théorème des valeurs intermédiaires
• intégration par parties

Et souvent, tu connais le cours… mais ne sais pas quelle méthode utiliser au bon moment.

Ici, on va reprendre un exercice complet pas à pas à partir de la fonction :

Comment réussir un vrai faux sur la fonction exponentielle ?

Dans ce type d’exercice, le plus important n’est pas seulement de dire “vrai” ou “faux”.

Ce qui compte vraiment, c’est :

• identifier le chapitre mobilisé
• reconnaître la bonne méthode
• rédiger proprement la justification

Attention, gros warning :
un vrai faux sans justification correcte ne vaut quasiment rien.

L’objectif ici, c’est donc de reconnaître immédiatement le réflexe à avoir selon la question.

Affirmation 1 : dériver une fonction exponentielle produit

On te demande ici si :

$f'(x)=(-2x+1)e^{-2x}$

Cette affirmation est vraie.

Pourquoi ? Parce que la fonction est un produit :

• une fonction polynôme : $x$
• une fonction exponentielle : $e^{-2x}$

Donc on applique la formule du produit :

$(uv)’=u’v+uv’$

On pose :

• $u(x)=x$
• $v(x)=e^{-2x}$

Puis :

• $u'(x)=1$
• $v'(x)=-2e^{-2x}$

On obtient alors :$$f'(x)=1\times e^{-2x}+x\times(-2e^{-2x})$$Puis :$$f'(x)=(-2x+1)e^{-2x}$$L’avantage ici, c’est que la dérivée est déjà factorisée.
Et ça, ça sera indispensable ensuite pour étudier le signe de $f’$f′.

Fonction exponentielle et équation différentielle

Deuxième piège classique : les équations différentielles.

On te demande ici si la fonction vérifie :

$y’+2y=e^{-2x}$

Le réflexe à avoir est très simple :

une fonction est solution d’une équation différentielle si elle vérifie l’égalité.

Donc on remplace simplement :$$f'(x)+2f(x)$$Par les expressions connues :$$(-2x+1)e^{-2x}+2xe^{-2x}$$Et là, les termes en $x$x s’annulent :$$e^{-2x}$$On retrouve exactement le membre de droite.

La fonction est donc bien solution de l’équation différentielle.

Convexité et dérivée seconde : le réflexe indispensable

Dans un vrai faux, dès que tu vois :

• convexe
• concave
• point d’inflexion

tu dois immédiatement penser à la dérivée seconde.

Ici, on dérive une deuxième fois :$$f'(x)=(-2x+1)e^{-2x}$$On obtient :

$f »(x)=4(x-1)e^{-2x}$

Et maintenant, le point clé :$$e^{-2x}>0$$sur tout $\mathbb{R}$.

Donc le signe de $f »$ dépend uniquement de :$$x-1$$Ainsi :

• $f »(x)<0$ si $x<1$
• $f »(x)>0$ si $x>1$

La fonction est donc :

• concave avant 1
• convexe après 1

L’affirmation “$f$ est convexe sur $]-\infty;1]$” est donc fausse.

Résoudre une équation avec une fonction exponentielle

On te demande ensuite si l’équation :$$f(x)=-1$$admet une unique solution.

Attention :
on ne sait pas résoudre cette équation directement.

Donc ici, le bon réflexe n’est pas l’algèbre.
C’est l’étude des variations.

On utilise le signe de la dérivée :$$f'(x)=(-2x+1)e^{-2x}$$Comme l’exponentielle est toujours positive, le signe de $f’$f′ dépend de :$$-2x+1$$Donc :

• la fonction est croissante sur $]-\infty;\frac12]$
• puis décroissante sur $[\frac12;+\infty[$

Ensuite, on utilise les limites et le théorème des valeurs intermédiaires.

On sait notamment que :$$\lim_{x\to-\infty} xe^{-2x}=-\infty$$et :$$f(0)=0$$Donc la valeur $-1$−1 est forcément atteinte une fois entre $-\infty$ et $0$.

Et comme la fonction est strictement croissante sur cet intervalle, cette solution est unique.

Calculer une aire avec une fonction exponentielle

Dernière grande méthode du chapitre : l’intégration par parties.

On cherche ici l’aire comprise entre :

• la courbe
• l’axe des abscisses
• $x=0$x=0
• $x=1$x=1

Comme la fonction est positive sur $[0;1]$[0;1], l’aire vaut :$$\mathcal A=\int_0^1 xe^{-2x}dx$$Et là, attention :

il n’existe pas de primitive directe d’un produit de ce type.

Le réflexe indispensable est donc :

intégration par parties.

On pose :

• $u(x)=x$
• $v'(x)=e^{-2x}$

Puis :

• $u'(x)=1$
• $v(x)=-\frac12e^{-2x}$

Après calcul, on obtient :

$\mathcal A=\frac14-\frac{3e^{-2}}4$

L’affirmation est donc vraie.

Ce qu’il faut retenir sur les vrai faux fonction exponentielle

Dans ce type d’exercice, les difficultés ne viennent pas forcément des calculs.

Le vrai problème, c’est souvent :

• reconnaître la méthode adaptée
• savoir quel chapitre utiliser
• rédiger proprement

Donc quand tu vois une affirmation :

• dérivée → formule du produit
• convexité → dérivée seconde
• solution unique → variations + TVI
• aire → intégrale + IPP
• équation différentielle → vérification directe

C’est ça qui change complètement la manière d’aborder l’exercice.

Et l’avantage ici, c’est que plus tu fais ce type de raisonnement, plus les automatismes se construisent.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction exponentielle est convexe ?

Il faut calculer la dérivée seconde et étudier son signe.

Si :

• $f »(x)>0$f′′(x)>0, la fonction est convexe
• $f »(x)<0$f′′(x)<0, la fonction est concave

Pourquoi l’exponentielle est toujours positive ?

Parce que :

$e^x>0$

pour tout réel $x$x.

C’est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

Comment reconnaître une intégration par parties ?

Quand tu dois intégrer un produit et qu’aucune primitive directe n’existe.

Typiquement :$$xe^{-2x}$$

Comment montrer qu’une équation admet une unique solution ?

On utilise souvent :

• les variations
• le théorème des valeurs intermédiaires
• la stricte monotonie

Pourquoi factoriser la dérivée avec l’exponentielle ?

Parce que l’exponentielle est toujours positive.

Donc une forme factorisée permet d’étudier beaucoup plus facilement le signe de la dérivée.

Tu sens que les lacunes s’accumulent en maths ?

Quand un élève bloque sur les fonctions exponentielles, le problème vient rarement uniquement du chapitre lui-même.

Très souvent, il manque :

• les automatismes de dérivation
• la logique des tableaux de signes
• la méthode de rédaction
• les réflexes de raisonnement

C’est exactement ce qu’on reconstruit ensemble étape par étape.

Rien n’est perdu.

L’objectif, ce n’est pas seulement réussir un exercice.
C’est reconstruire les bases pour sécuriser tout le reste du lycée.