Tu sais que l’étude d’une fonction rationnelle passe par plusieurs étapes, mais dès que tu te retrouves devant l’exercice, tu ne sais plus vraiment dans quel ordre attaquer ? Domaine de définition, dérivée, variations, signe, tangente… c’est beaucoup à gérer en même temps.
C’est exactement ce qu’on règle ici, avec un exercice corrigé de A à Z.
👇 Tu préfères regarder ? La vidéo est en bas de l’article.
Les 6 savoir-faire fondamentaux de l’étude d’une fonction rationnelle
Une étude complète d’une fonction rationnelle mobilise toujours les mêmes compétences, dans le même ordre. Les maîtriser une par une, c’est ce qui transforme un exercice intimidant en quelque chose de prévisible. Voici les six étapes que tu vas retrouver dans la vidéo.
Domaine de définition d’une fonction rationnelle
C’est le point de départ obligatoire. Une fonction rationnelle n’est définie que là où son dénominateur est différent de zéro. Ici, la condition à résoudre est donc x + 2 ≠ 0, ce qui donne x ≠ -2.
On en déduit que le domaine de définition est ℝ privé de -2, soit ]-∞ ; -2[ ∪ ]-2 ; +∞[. Cette valeur interdite va structurer toute la suite de l’étude.
Calculer la dérivée d’une fonction rationnelle
Maintenant qu’on connaît le domaine, on peut s’attaquer à la dérivée de la fonction rationnelle. Le domaine de dérivabilité est ici identique au domaine de définition, ce qui est toujours le cas pour une fonction rationnelle.
f est de la forme u/v, donc on applique la formule . On pose et , ce qui donne et .
Après développement et réduction du numérateur, on obtient :
Le dénominateur n’est jamais développé : c’est un carré, il reste sous cette forme pour l’étude du signe.
Etude du signe de la dérivée et tableau de variations
Pour déterminer les variations de la fonction, on étudie séparément le signe du numérateur et du dénominateur.
Le dénominateur (x + 2)² est un carré, donc il est strictement positif sur tout le domaine de définition. Ce qui détermine le signe de f’, c’est uniquement le trinôme x² + 4x + 3.
On calcule le discriminant : Δ = 4² – 4 × 1 × 3 = 16 – 12 = 4. Puisque Δ > 0, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : x₁ = -3 et x₂ = -1.
Le coefficient directeur a = 1 est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. On en déduit le tableau de variations : f est croissante sur ]-∞ ; -3[, décroissante sur ]-3 ; -2[ et sur ]-2 ; -1[, puis croissante sur ]-1 ; +∞[.
Calculer une équation de tangente
L’équation de la tangente en un point x = a s’écrit . Cette formule fait intervenir le nombre dérivé f'(a) et la valeur de la fonction f(a).
Pour x = 2, on calcule et .
L’équation de la tangente est donc :
Etude du signe de la fonction rationnelle
Pour établir le tableau de signe de f, on étudie séparément numérateur et dénominateur. Le numérateur x² + x – 1 admet deux racines : x₁ = (-1 – √5) / 2 ≈ -1,6 et x₂ = (-1 + √5) / 2 ≈ 0,6.
Le dénominateur x + 2 est positif pour x > -2 et négatif pour x < -2. En appliquant la règle des signes, on conclut que f(x) ≥ 0 sur ]-2 ; x₁] ∪ [x₂ ; +∞[ et f(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; -2[ ∪ [x₁ ; x₂].
Tracer la représentation graphique
Une fois les variations et le signe établis, on dispose de tous les éléments pour tracer la courbe. La valeur interdite x = -2 correspond à une asymptote verticale. Les tangentes horizontales en x₁ = -3 (maximum local) et x₂ = -1 (minimum local) ont pour équations y = -5 et y = -1. La tangente en x = 2, d’équation y = 15/16 x – 5/8, complète le tableau.
Pourquoi le plan d’étude d’une fonction rationnelle suit toujours le même ordre
Ce n’est pas arbitraire. Chaque étape prépare la suivante : on ne peut pas calculer la dérivée sans connaître le domaine, et on ne peut pas dresser le tableau de variations sans avoir étudié le signe de la dérivée. Comprendre cette logique, c’est transformer l’exercice en quelque chose de prévisible, quel que soit l’énoncé.
En Terminale spé maths, cette structure est la même pour toutes les études de fonctions. La maîtriser sur une fonction rationnelle, c’est la maîtriser partout.
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Fonction rationnelle: Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une fonction rationnelle ?
Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes. Elle n’est définie que là où son dénominateur est différent de zéro. Par exemple, f(x) = (x² + x – 1) / (x + 2) est une fonction rationnelle dont la valeur interdite est x = -2.
Comment trouver le domaine de définition d’une fonction rationnelle ?
On résout l’équation dénominateur = 0 et on exclut la ou les solutions obtenues de ℝ. Le domaine de définition est alors ℝ privé de ces valeurs. C’est toujours la première étape avant tout calcul.
Comment reconnaître une fonction rationnelle ?
Une fonction rationnelle se reconnaît à sa forme : c’est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des polynômes. Dès que tu vois une variable au dénominateur d’une fraction, tu es probablement face à une fonction rationnelle.
Comment calculer la dérivée d’une fonction rationnelle ?
On utilise la formule de dérivation d’un quotient : f’ = (u’v – uv’) / v². Il faut ensuite développer et réduire le numérateur, mais ne surtout pas développer le dénominateur. Le dénominateur sous forme factorisée est indispensable pour étudier son signe correctement.
Comment dresser le tableau de variations d’une fonction rationnelle ?
On étudie le signe de f’. Le dénominateur est souvent un carré, donc toujours positif sur le domaine. Le signe de f’ est alors uniquement déterminé par le numérateur. On calcule le discriminant du trinôme du numérateur, on trouve ses racines, puis on applique la règle des signes pour conclure sur les variations.
