Tu veux dériver une fonction rationnelle du type u/v devant toi et tu ne sais pas par où attaquer ? Tu connais vaguement la formule (u’v – uv’) / v², mais dès que tu passes à l’application concrète, tu bloques sur le calcul ou tu oublies le carré au dénominateur ? C’est exactement ce qu’on règle ici. Je te montre comment dériver une fonction rationnelle, étape par étape, sur un exercice complet.
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Ce qu’est une fonction rationnelle? Et pourquoi ça change le domaine
Une fonction rationnelle, c’est simplement un polynôme divisé par un autre polynôme. Ici, on travaille avec
Avant même de dériver, il y a un prérequis qu’on oublie trop souvent : définir le domaine de définition. Pour une fonction rationnelle, il faut identifier les valeurs qui annulent le dénominateur — ce sont les valeurs interdites.
Ici, la condition à poser est x – 2 ≠ 0, ce qui donne x ≠ 2. Le domaine de définition est donc ℝ \ {2}. Et bonne nouvelle : pour une fonction rationnelle, le domaine de dérivabilité est toujours égal au domaine de définition. Pas besoin de le recalculer séparément.
La formule pour dériver un quotient et l’erreur à ne pas faire
Dériver une fonction rationnelle revient à dériver un quotient, c’est-à-dire une fonction de la forme u/v. La formule est :
L’erreur la plus fréquente ? Oublier le carré au dénominateur. C’est systématique, et ça coûte des points à chaque fois. Donc attention, gros warning : le dénominateur est bien v², pas v.
Comment poser u et v avant de calculer
Avant d’appliquer la formule, je te conseille de poser u et v explicitement sur ta copie. C’est une petite habitude qui change tout, parce qu’elle te permet ensuite de faire comme un produit en croix pour appliquer la formule sans te tromper.
On pose donc :
On calcule les dérivées :
Comment appliquer la formule pas à pas
Maintenant qu’on a u, v, u’ et v’, on peut appliquer la formule. On obtient :
La seule chose qui reste, c’est du calcul littéral. On développe le numérateur :
Attention ici au signe moins devant la parenthèse — il faut changer le signe de chaque terme à l’intérieur. C’est un piège classique à ce stade du calcul.
On réduit :
Et voilà. La dérivée est sous sa forme la plus simple. On ne peut pas aller plus loin.
Pourquoi cette forme factorisée est indispensable pour la suite
Tu te demandes peut-être pourquoi on s’arrête là sans chercher à simplifier davantage. La réponse, c’est que cette forme est exactement ce dont tu as besoin pour la suite : l’étude des variations de f.
Pour dresser le tableau de variations, tu vas devoir étudier le signe de f’. Or (x – 2)² est toujours positif ou nul sur ℝ \ {2} — il ne change jamais de signe. Donc le signe de f’ est entièrement déterminé par le numérateur x² – 4x + 1. C’est un trinôme du second degré classique, que tu sais étudier avec le discriminant.
C’est précisément pour ça que la forme obtenue est utile : elle isole ce qui détermine les variations.
Ce que ce calcul prépare en Terminale
Calculer la dérivée d’une fonction rationnelle n’est jamais une fin en soi. En Terminale spé maths, ce calcul est systématiquement au service d’une étude de fonction complète : variations, extremums, tableau de signe, asymptotes.
Maîtriser la dérivée du quotient, c’est sécuriser l’ensemble de cette étude. Si ce calcul est fragile, tout ce qui suit vacille. À l’inverse, une fois que le réflexe est installé, poser u et v, calculer les dérivées, appliquer la formule, réduire; le reste de l’exercice devient fluide.
Tu retrouveras aussi cette logique dans les exercices de type bac où l’on te donne f'(x) pour que tu en déduises les variations. Avoir la dérivée bien calculée et bien factorisée, c’est ce qui rend ces exercices accessibles.
Tu sens que des lacunes s’accumulent sur la dérivation ?
Ce n’est pas toujours évident de repérer seul où ça coince vraiment. Je propose un bilan personnalisé gratuit pour faire le point sur ce qui bloque et voir comment avancer efficacement.
Questions fréquentes sur la dérivée d’une fonction rationnelle
Comment dériver une fonction rationnelle ?
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Pour la dériver, on utilise la formule de la dérivée d’un quotient : (u’v – uv’) / v². On commence par identifier u et v, on calcule leurs dérivées séparément, puis on applique la formule. On développe et réduit ensuite le numérateur pour obtenir la forme la plus simple possible.
Quelle est la formule de la dérivée u/v ?
La formule est f'(x) = (u’v – uv’) / v². Le point le plus important à retenir : le dénominateur est v au carré, pas v. C’est l’erreur la plus fréquente. Il faut aussi faire attention à l’ordre des termes au numérateur — c’est u’v en premier, puis moins uv’.
Comment trouver le domaine de dérivabilité d’une fonction rationnelle ?
Pour une fonction rationnelle, le domaine de dérivabilité est toujours égal au domaine de définition. Il suffit donc de trouver les valeurs interdites, c’est-à-dire celles qui annulent le dénominateur, et de les exclure de ℝ. Pas besoin de le recalculer séparément.
Pourquoi faut-il réduire le numérateur après avoir appliqué la formule ?
Réduire le numérateur permet d’obtenir la forme la plus simple de la dérivée, ce qui est indispensable pour étudier son signe. C’est le signe de f’ qui détermine les variations de f. Plus le numérateur est réduit, plus l’étude du signe est facile. Et pour ça, le développement et la réduction du numérateur sont une étape obligatoire.
Quelle est la différence entre dériver une fonction polynôme et dériver une fonction rationnelle ?
Dériver un polynôme, c’est appliquer les règles de base terme par terme. Dériver une fonction rationnelle, c’est appliquer la formule du quotient, qui fait intervenir les deux polynômes simultanément. La difficulté supplémentaire vient du calcul au numérateur — développement, signe moins, réduction — et du carré au dénominateur qu’il ne faut pas oublier.
