E3C 02597 corrigé intégral

Ex  2: étude d’une fonction résultat

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre 200 et 2 000 litres de produit par semaine. Le résultat, en dizaines de milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de 𝑥 centaines de litres est donné par la fonction 𝑅 définie par :

$R(x)=(5x-30)e^{-0,25x}$ , pour tout réel 𝑥 ∈ [2; 20].

1. Calculer le résultat réalisé par la fabrication et la vente de 7 centaines de litres de produit. On l’arrondira à l’euro près.
2. Vérifier que pour la fabrication et la vente de 400 litres de produit, l’entreprise réalise un résultat négatif (appelé déficit).
3. Résoudre l’inéquation 𝑅(𝑥) ≥ 0, d’inconnue 𝑥. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
4. On note 𝑅 ′ la dérivée de la fonction 𝑅.
   Un logiciel de calcul formel donne : $R'(x)=(-1,25x+12,5)e^{-0,25x}$
   En déduire la quantité de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour réaliser le résultat maximal.

Correction de l’étude de fonction 02597

1. On calcule R(7)

$R(7)=(5\times 7-30)e^{-0,25\times 7}=13,033$

Le résultat pour la production et la vente de 700 litres est de 13,033 milliers d’euros soit 13 033 euros.

2. Pour vérifier que le résultat est négatif, il suffit de calculer R(4) puisque $x$ s’exprime en centaines de litres.

$R(4)=(5\times 4 -30)e^{-0,25\times 4}=-10e^{-1}$

Ce résultat est strictement négatif. Donc l’entreprise est en déficit pour 400 litres produits et vendus.

3. On cherche à résoudre $R(x)\geq 0$ dans l’intervalle [2;20]. 

Pour tout $x\in [2;20]$ $e^{-0,25x}>0$, R est donc du signe de $(5x-30)$ sur [2;20]

Résolvons l’inéquation $5x-30\geq 0$

$5x-30\geq 0$ équivaut à $x\geq 6$

On a donc $R(x)\geq 0$ pour $x\in [6;20]$

Cela signifie que l’entreprise réalise un bénéfice pour une quantité produite et vendue comprise entre 600 et 2 000 litres de produit.

4. Dans cette question, on nous demande de déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal. Cela revient à étudier la fonction R sur l’intervalle [2;20]. Nous allons donc réaliser l’étude du signe de la dérivée qui est donnée dans l’énoncé de la question.

$R'(x)=(-1,25x+12,5)e^{-0,25x}$

On sait que pour tout $x\in [2;20]$, $e^{-0,25x}>0$. $R’$ est donc du signe de $(-1,25x+12,5)$.

Résolvons $-1,25x+12,5>0$

$-1,25x+12,5>0$ 

$-1,25x>-12,5$

soit $x<10$

La fonction R est donc croissante sur [2;10] et décroissante sur [10;20].

On en déduit que le bénéfice maximal est obtenu pour $x=10$ soit pour une quantité produite et vendue égale à 1 000 litres.