Dérivée d’une fonction exponentielle : dériver un produit avec e^x pas à pas

Tu sais que f est dérivable, tu connais la formule $(uv)’$, mais dès que $e^x$ entre dans l’équation, tu ne sais plus trop quoi faire du résultat. C’est exactement ce qu’on règle ici : comment calculer la dérivée d’une fonction exponentielle sous forme de produit, pourquoi il faut absolument factoriser, et ce que ça change pour la suite.

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Pourquoi justifier la dérivabilité avant de calculer

Avant même de sortir la formule, il y a un prérequis que beaucoup d’élèves oublient : justifier que f est dérivable. Ce n’est pas une formalité, c’est ce qui légitime tout ce qui suit.

Ici, f est définie par:

$f(x)= (x^2 + 2x – 3) \cdot e^x$

sur R. Elle est dérivable sur R parce que c’est le produit d’une fonction polynôme, dérivable sur R, et de la fonction exponentielle, elle aussi dérivable sur R.

Une ligne suffit, mais elle doit y être.

Comment calculer la dérivée d’une fonction exponentielle : la méthode pas à pas

f est de la forme $u × v$, donc $f’ = u’v + uv’$.

On pose :

$u(x) = x^2 + 2x – 3$

$v(x) = e^x$

On calcule les dérivées :

$u'(x) = 2x + 2$

$v'(x) = e^x$

La fonction exponentielle a cette propriété particulière : elle se dérive en elle-même. C’est une de ses caractéristiques fondamentales, et c’est ce qui simplifie le calcul une fois qu’on l’a bien intégrée.

On applique la formule :

$f'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + e^x \cdot (x^2 + 2x – 3)$

Pourquoi la factorisation est indispensable quand on dérive une fonction exponentielle

À ce stade, le calcul est juste mais le travail n’est pas terminé. Il faut factoriser par $e^x$.

Ce n’est pas une question d’esthétique. La dérivée sert à étudier les variations de f, ce qui passe par l’étude du signe de f’. Or $e^x$ est strictement positif sur R : il ne change jamais de signe. Ce qui détermine le signe de f’, c’est uniquement la partie polynôme.

On factorise :

$f'(x) = e^x \cdot (2x + 2 + x^2 + 2x – 3)$

$f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 4x – 1)$

C’est cette forme-là qui te permettra d’étudier le signe de f’, et donc de dresser le tableau de variations de f. C’est exactement ce qu’on fait dans la vidéo suivante.

Dériver une fonction exponentielle en Terminale : ce que ce calcul prépare

En Première comme en Terminale, la dérivée d’une fonction exponentielle n’est jamais une fin en soi. Elle est toujours au service de quelque chose : l’étude des variations, la recherche d’extremums, parfois les limites.

Maîtriser ce calcul, c’est poser les bases de tout ce qui vient ensuite sur la fonction exponentielle : le sens de variation, le minimum ou maximum éventuel, et la lecture du graphe. Si ce point est fragile, tout le chapitre vacille.

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Questions fréquentes sur la dérivée d’une fonction exponentielle

Pourquoi faut-il justifier la dérivabilité avant de calculer ?
C’est un prérequis obligatoire. Sans cette justification, le calcul qui suit n’est pas légitimé. Une ligne suffit : f est le produit d’une fonction polynôme et de la fonction exponentielle, toutes deux dérivables sur R.

Comment calculer la dérivée d’une fonction exponentielle sous forme de produit ?
On utilise la formule du produit : $f’ = u’v + uv’$. On pose u comme le polynôme et v comme $e^x$, on calcule u’ et v’, puis on applique la formule. La dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même.

Pourquoi faut-il absolument factoriser par e^x après avoir dérivé ?
Parce que la dérivée sert à étudier les variations de f, ce qui passe par l’étude du signe de f’. Or $e^x$ est strictement positif sur R : il ne change jamais de signe. En factorisant, on isole la partie polynôme qui, elle, détermine le signe de f’.

Est-ce que cette méthode fonctionne en Terminale aussi ?
Oui, c’est exactement la même méthode en Terminale. Les exercices sont plus complexes, mais l’enchaînement reste identique : justifier la dérivabilité, appliquer la formule du produit, factoriser par $e^x$.

À quoi sert ce calcul de dérivée dans la suite du chapitre ?
La dérivée factorisée est le point de départ de l’étude des variations : elle permet de dresser le tableau de variations, de localiser les extremums et, en Terminale, de calculer les limites de la fonction.

Tu veux revoir comment dériver une fonction rationnelle?