Sujet de bac E3C 02620: QCM

Question 1:
Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

• $\vec{v}(-5;4)$
• $\vec{v}(-4;5)$
• $\vec{v}(4;5)$
• $\vec{v}(5;4)$

On souhaite, dans cette question, déterminer un vecteur normal de la droite.

Il faut savoir que, toute droite de la forme $ax+by+c=0$ admet $(a;b)$ pour vecteur normal ou tout vecteur qui lui est colinéaire.

Ici un vecteur normal est: $(4;5)$

Question 2:
Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point $A(7;9)$ sur la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le point :

• H(7;0,8)
• H(3;4)
• H(4;3,2)
• H(4;5)

On doit déjà vérifier lesquels des points H donnés appartiennent à la droite $4x+5y-32=0$. Seul le point H(4;5) ne vérifie pas l’équation de la droite.

On peut ensuite vérifier lequel des vecteur $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire au vecteur normal trouvé dans la question précédente. Par mesure de simplicité, nous commençons par le point dont les coordonnées sont entières: H(3;4)

Dans ce cas, le vecteur $\overrightarrow{AH}$ a pour coordonnées: (-4;-5). 

Comme un vecteur normal est (4;5) on en déduit immédiatement que les deux vecteurs sont colinéaires.

Le projeté orthogonal de A sur la droite est le point H(3,4)

Question 3:
Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre $A(-1;3)$ et de rayon 2 est:

• $x^2-1+y^2=2^2$
• $x^2+2x+y^2-6y+9=2$
• $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
• $(x-1)^2+(y-3)^2=2^2$

Pour un cercle de centre (a;b) et de rayon R, l’équation s’écrit:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Ici, l’équation s’écrit donc: $(x+1)^2+(-3)^2=2^2$

Question4:
Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point S et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de S et l’équation de $\Delta$ sont :

• $S(\frac{3}{2};\frac{-7}{4})$ et $\Delta : x=\frac{3}{2}$
• $S(3;5)$ et $\Delta : x=3$
• $S(\frac{3}{2};\frac{-7}{4})$ et $\Delta : y=\frac{-7}{4}$
• $S(3;5)$ et $\Delta : y=5$

Pour une parabole, l’axe de symétrie à pour équation: $x=\frac{-b}{2a}$

Dans le cadre de la fonction du second degré donnée, on a: $x=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

La seule réponse possible est:

$S(\frac{3}{2};\frac{-7}{4})$ et $\Delta : x=\frac{3}{2}$

Question 5:
On considère l’inéquation $-3x^2+9x-5>0$. L’ensemble S des solutions de cette inéquation et :  $x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1<x_2$ pour les propositions b) et d)

• $\emptyset$
• de la forme $]-\infty;x_1[\cup ]x_2;+\infty[$
• $\mathbb{R}$
• de la forme $]x_1;x_2[$

On commence par calculer le discriminant $\Delta$:

$\Delta=b^2-4ac=9^2-4\times (-3)(-5)=31$

Le trinôme admet donc deux racines $x_1$ et $x_2$. Une fonction du second degré dont le discriminant est strictement positif est du signe de « a » sauf entre les deux racines donc la réponse est $]x_1;x_2[$