L’exercice 1 du sujet Amérique du Nord 2026 portait sur les probabilités.
Et honnêtement, il s’agissait d’un exercice extrêmement classique de terminale spécialité maths.
On retrouvait pratiquement tous les grands incontournables du chapitre :
- probabilités conditionnelles ;
- arbre pondéré ;
- probabilités totales ;
- loi binomiale ;
- variable aléatoire ;
- espérance ;
- inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Techniquement, cet exercice n’était pas particulièrement difficile.
En revanche, il demandait énormément de rigueur.
Le vrai danger ici n’était donc pas la technicité.
Le vrai danger était surtout :
- les erreurs d’inattention ;
- les confusions de notation ;
- les oublis dans les probabilités conditionnelles ;
- et la perte de méthode au fil des questions.
Pour un élève maîtrisant correctement son cours et restant rigoureux dans sa rédaction, cet exercice était largement faisable.
Voir mon analyse du sujet complet Amérique du Nord 2026
Exercice de probabilité Amérique du Nord 2026
EXERCICE 1 — Probabilités (6 points)Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d’abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ».
Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » que l’on peut activer pour chaque type d’abonnement et qui permet de télécharger de la musique.
Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d’établir que :
- 25 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l’abonnement « Famille ».
- 45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l’option « Écoute hors-ligne ».
- 30 % des abonnés « Classique » ont activé l’option « Écoute hors-ligne ».
- 12 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Famille » et ont activé l’option « Écoute hors-ligne ».
On prélève au hasard le profil d’un abonné et on considère les événements suivants :
- \( E \) : abonnement Étudiant ;
- \( C \) : abonnement Classique ;
- \( F \) : abonnement Famille ;
- \( H \) : option Écoute hors-ligne activée.
Partie A
Question 1 — Compléter l’arbre pondéré
Recopier l’arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés.
Question 2 — Calculer la valeur exacte de \( P(E \cap H) \)
\[ P(E \cap H) \]Voir la correction
\[ P(E \cap H)=P(E)\times P_E(H) \] \[ P(E \cap H)=0,25\times0,45 \] \[ P(E \cap H)=0,1125 \]Question 3 — Démontrer que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est 0, 4125.
Voir la correction
\[ P(H)=P(E\cap H)+P(C\cap H)+P(F\cap H) \] \[ P(C)=1-0,25-0,15=0,60 \] \[ P(C\cap H)=0,60\times0,30=0,18 \] \[ P(H)=0,1125+0,18+0,12 \] \[ P(H)=0,4125 \]Question 4 — Un abonné a activé l’option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu’il ait choisi l’abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.
Déterminer \( P_H(E) \).
Voir la correction
\[ P_H(E)=\frac{P(E\cap H)}{P(H)} \] \[ P_H(E)=\frac{0,1125}{0,4125} \] \[ P_H(E)\approx0,273 \]Partie B
On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu’il y a suffisamment d’abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.
On rappelle que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est de 0, 4125. On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’abonnés ayant activé l’option « Écoute hors-ligne ».
Question 1 — On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Voir la correction
\[ X\sim\mathcal{B}(8;0,4125) \]Question 2 — Calculer la probabilité qu’aucun de ces huit abonnés n’ait activé l’option « Écoute hors-ligne». On arrondira le résultat au millième.
Voir la correction
\[ P(X=0)=0,5875^8 \] \[ P(X=0)\approx0,014 \]Question 3a — Dans cette question, n est un entier naturel non nul. On s’intéresse à un échantillon de n abonnés, qu’on assimile à un tirage avec remise.On note qn la probabilité qu’au moins un abonné de cet échantillon ait activé l’option « Écoute hors-ligne ». Démontrer que, pour tout n entier naturel non nul, \( q_n=1-0,5875^n \)
Voir la correction
\[ q_n=1-P(\text{aucun}) \] \[ q_n=1-0,5875^n \]Question 3b — Déterminer la plus petite valeur de n telle que la probabilité qu’au moins un abonné de l’échantillon ait activé l’option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à 99, 9%.
Voir la correction
\[ 1-0,5875^n\ge0,999 \] \[ 0,5875^n\le0,001 \] \[ n\ge\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,5875)} \] \[ n\ge12,97 \] \[ n=13 \]Partie C
La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :
On note Y la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.- Étudiant : 5 €
- Classique : 10 €
- Famille : 16 €
- Option hors-ligne : +2 €
Question 1 — Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire Y .
Voir la correction
\[ 5;\ 7;\ 10;\ 12;\ 16;\ 18 \]Question 2 — Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire Y .
Voir la correction
Valeur Probabilité \(5\) \(0,1375\) \(7\) \(0,1125\) \(10\) \(0,42\) \(12\) \(0,18\) \(16\) \(0,03\) \(18\) \(0,12\) Question 3 — Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y vaut 10, 475 et interpréter ce résultat dans le contexte.
Voir la correction
\[ E(Y)=10,475 \]En moyenne, un abonné paie environ 10,48 € par mois.
Question 4 — À l’aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire Y , arrondie au centième
Voir la correction
À l’aide de la calculatrice :
\[ V(Y)\approx13,70 \]Question 5a — Une plateforme vidéo propose les mêmes types d’abonnements. On note Z la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l’espérance de la variable aléatoire Z vaut 9 et son écart-type 2. Calculer la variance de la variable aléatoire Z.
Voir la correction
\[ V(Z)=2^2 \] \[ V(Z)=4 \]Question 5b — Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50 % de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros.Justifier l’affirmation
Voir la correction
On cherche à calculer :
\[ P(6 < Z < 12) \]Or :
\[ E(Z)=9 \]Donc :
\[ P(6 < Z < 12)=P(6-9 < Z-E(Z) < 12-9) \]Ainsi :
\[ P(6 < Z < 12)=P(-3 < Z-E(Z) < 3) \]Ce qui donne :
\[ P(6 < Z < 12)=P(|Z-E(Z)| < 3) \]Or :
\[ P(|Z-E(Z)| < 3) = 1-P(|Z-E(Z)|\ge3) \]D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\[ P(|Z-E(Z)|\ge a)\le\frac{V(Z)}{a^2} \]avec ici :
\[ a=3 \quad \text{et} \quad V(Z)=4 \]Donc :
\[ P(|Z-E(Z)|\ge3)\le\frac49 \]Ainsi :
\[ P(|Z-E(Z)|<3)\ge1-\frac49 \] \[ P(|Z-E(Z)|<3)\ge\frac59 \]Or :
\[ \frac59>0,5 \]Donc l’affirmation est vraie.
Voir les exercices suivants:
- Suites et équations différentielles en Amérique du Nord 2026
- Géométrie dans l’espace en Amérique du Nord 2026
- Fonction logarithme en Amérique du Nord 2026
Ce que cet exercice évaluait vraiment
Beaucoup d’élèves pensent qu’un exercice de probabilités consiste simplement à “faire des calculs”.
Mais ce type d’exercice évalue en réalité plusieurs compétences très différentes.
Ici, le sujet vérifiait notamment :
- la capacité à organiser les données ;
- la maîtrise des probabilités conditionnelles ;
- la reconnaissance des schémas classiques ;
- la rigueur dans les notations ;
- la compréhension des variables aléatoires.
Et surtout :
cet exercice demandait aux élèves de rester méthodiques pendant plusieurs pages sans perdre le fil du raisonnement.
C’est souvent là que les écarts se creusent.
Certains élèves connaissent leur cours…
mais perdent des points à cause :
- d’une mauvaise organisation ;
- d’une confusion entre les événements ;
- ou d’une rédaction insuffisamment rigoureuse.
Ce qu’il fallait retenir de cet exercice
Cet exercice était très classique dans ses méthodes.
Mais il récompensait fortement les élèves capables de :
- rester organisés ;
- rédiger proprement ;
- reconnaître rapidement les schémas classiques ;
- et garder une méthode rigoureuse jusqu’à la fin.
Le vrai piège n’était donc pas la difficulté technique.
Le vrai piège était surtout :
- la perte de concentration ;
- les erreurs de notation ;
- et les oublis dans les raisonnements.
Et c’est exactement ce qui fait la différence entre :
- un élève qui “connaît son cours” ;
- et un élève capable de réellement réussir un sujet de bac complet.