La réciproque de Pythagore

Dans un précédent article, nous avons vu comment utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. Aujourd’hui, nous allons répondre à vos questions concernant la réciproque de Pythagore:

  • Qu’est-ce que la réciproque de Pythagore ?
  • Quand l’utiliser ?
  • Comment bien rédiger la réciproque du théorème de Pythagore ?

C'est quoi la réciproque de Pythagore?

Bien, rappelons que le théorème nous dit que si le triangle est rectangle alors il y a une égalité entre les carrés des longueurs des 3 côtés du triangle.

Une réciproque, c’est lire le théorème dans l’autre sens en quelque sorte. C’est à dire que si l’égalité est vraie alors le triangle est rectangle.

Énoncé de la Réciproque de Pythagore:

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Enoncé de la sorte, cela semble un peu compliqué, on vous explique donc ce que cela signifie.

Que signifie cette réciproque ?

Prenons, par exemple, le triangle ci-contre et essayons de déterminer si ABC est rectangle

Dans le triangle ABC ci-contre, on a AB=3, BC=4 et AC=5. 

On remarque tout de suite que le plus grand côté mesure 5 et est AC/

Si on calcule : $AC^2=5^2=25$

et que l’on calcule aussi:

$AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$

On constate que l’on a égalité entre ces deux calculs. Donc le triangle ABC est rectangle en B

c'est quoi la propriété de Pythagore

Remarque sur l’énoncé de la réciproque :

Il faut donc valider une égalité pour pouvoir utiliser la réciproque du théorème de Pythagore

Quand utiliser la réciproque de Pythagore?

Maintenant que nous savons ce qu’est la réciproque de Pythagore, nous allons voir quand et comment l’utiliser

A quelles questions répond la réciproque ?

Comme nous l’avons déjà vu, cette réciproque permet de déterminer si un triangle est rectangle

C’est donc un outil qui permet de répondre au type de questions suivantes:

  • démontrer que le triangle ABC est rectangle en B
  • ou alors: le triangle ABC est-il rectangle ?

Même s’il existe d’autres outils mathématiques en géométrie pour répondre à ces questions, Pythagore est une option à ne pas négliger !

Quand dois-je utiliser la réciproque ?

Il y a un cas où l’utilisation de la réciproque de Pythagore s’impose vraiment: si les mesures des 3 côtes du triangle sont connues. Dans ce cas, il va être très simple d’utiliser la réciproque de Pythagore pour montrer que le triangle est rectangle.

A retenir:

Je dois utiliser la réciproque de Pythagore:

  • si on me demande démontrer qu’un triangle est rectangle
  • et que je connais les mesures des 3 côtés du triangle.

Bien rédiger la réciproque du théorème de Pythagore

Une rédaction en plusieurs étapes:

  • il faut d’abord repérer quel est le côté le plus long. Dans le triangle rectangle ci-contre le plus grand côté est AC
  • Ensuite, on calcule séparément les deux membres de l’égalité:

D’abord, on calcule le côté le plus long au carré :

ici: $AC^2=13^2= 169

Réciproque du théorème de Pythagore

Puis on calcule la somme des carrés des deux autres côtés:

$AB^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$

  • on constate ensuite l’égalité entre les deux calculs
  • avant de conclure sur la nature du triangle.

Ce sont les étapes principales des calculs pour utiliser la réciproque. Mais il manque encore les phrases de rédaction qui permettent d’obtenir tous les points!

Rédaction de la réciproque de Pythagore: gagnez des points!

Maintenant que vous savez tout ce qu’il y a à savoir, il ne reste plus qu’à rédiger de manière impeccable votre réponse à la question.

Enoncé de l’exercice:

Soit ABC un triangle tel que AC=6, BC=8 et AB=10. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.

La rédaction type qui rapporte des points:

Dans le triangle ABC, le plus grand côté est AB

Je calcule d’une part :

$AB^2=10^2=100$

et d’autre part:

$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$

L’égalité : $AB^2=AC^2+BC^2$ est vérifiée.

D’après la réciproque  du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Méthode pour ue rédaction parfaite:

  • J’identifie le plus grand côté et je l’écris
  • Je calcule séparément les deux membres de l’égalité
  • Je constate l’égalité entre ces deux calculs
  • Et je conclus en mentionnant la réciproque de Pythagore

En conclusion sur la réciproque de Pythagore

Tout comme le théorème, la réciproque est simple d’utilisation. Néanmoins, il vous faudra être rigoureux dans la rédaction pour ne pas passer à côté de la note maximale. 

Sachez cependant qu’il existe d’autres outils géométriques pour montrer qu’un triangle est rectangle, notamment lorsque aucune mesure n’est disponible. Mais ce sera l’objet d’un autre article!