Bac de maths: annale sujet E3C 02621

Question 1:
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant :
$(x+1)^2+(y-1)^2=9$ est:

• un cercle
• une droite
• une parabole
• l’ensemble vide

L’expression donnée est la définition même d’un cercle de centre (a;b) et de rayon R.

$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$

Ici il s’agit du cercle de centre (-1,1) et de rayon 3

Question 2:
Combien y a-t-il de fonctions polynômes du second degré qui s’annulent en 1 et 3 ?

• 0
• 1 seule
• 2
• une infinité

Toute fonction polynôme du second degré qui admet deux racines $x_1$ et $x_2$ s’écrit sous forme factorisée:

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

où $a\neq 0$

Par conséquent, il existe une infinité de fonction polynôme du second degré qui s’annule en 1 et 3.

Question 3:
Une fonction polynôme du second degré:

• est nécessairement de signe constant sur $\mathbb{R}$
• n’est jamais de signe constant sur $\mathbb{R}$
• est nécessairement positive sur $\mathbb{R}$
• peut être ou non de signe constant sur $\mathbb{R}$

On sait que le signe d’une fonction du second degré dépend du signe de son discriminant $\Delta$

Par conséquent, une fonction du second degré peut être ou non de signe constant sur $\mathbb{R}$

Question 4:
Pour tout réel $x$, $e^{2x+1}=$:

• $e^{2x}+e$
• $e^{2x}\times e$
• $(e^{x+1})^2$
• $(2x+1)\times e$

Les propriétés algébriques de l’exponentielle nous permettent de répondre facilement et rapidement à cette question:

$e${a+b}=e^a\times e^b$

On a donc: $e^{2x+1}=e^{2x}\times e^1=e^{2x}\times e$

Question 5:
Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $2x-5y-4=0$

• coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;-4)
• passe par le point de coordonnées (2;0,2)
• admet $\vec{u}(2;-5)$ pour vecteur normal
• admet $\vec{u}(2;-5)$ pour vecteur directeur

Toute droite d’équation cartésienne: $ax+by+c=0$ admet pour vecteur directeur $(-b;a)$ et pour vecteur normal $(a;b)$

On en déduit que $d$ admet $\vec{u}(2;-5)$ pour vecteur normal