Élever au carré de tête
En dehors des 20 premiers carrés parfaits que nous devons tous connaître, nous pouvons avoir la nécessité d’élever un nombre au carré. Vous me direz, il est si simple de prendre une calculatrice et de taper l’opération! Mais, pour tous ceux qui passent des examens où la calculatrice n’est pas autorisée, il est important de développer des techniques de calcul mental pour calculer plus vite et ainsi gagner du temps lors des épreuves.
Mais, commençons par le début, et rappelons la liste des carrés parfaits entre 1 et 20.
Les carrés parfaits entre 1 et 20:
En théorie, nous connaissons tous les carrés parfaits entre 1 et 10. C’est un peu moins vrai en ce qui concerne les carrés entre 11 et 20. Aussi, je vous rappelle ces nombres que vous devez connaître et vous propose de vous entraîner sur les quiz rapides associés à chaque liste. Pour chaque quiz, les questions sont au nombre de 5 et tirées aléatoirement dans la liste. Ce qui fait que vous ne verrez pas les carrés apparaître dans l’ordre. C’est un très bon moyen de les pratiquer et de les retenir.
Carrés parfaits entre 1 et 10
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
$10^2 = 100$
Carrés parfaits entre 11 et 20
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$
$16^2 = 256$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$19^2 = 361$
$20^2 = 400$
Cas particuliers: nombres finissant par 5:
Malheureusement, une fois connue la liste des carrés entre 1 et 20, on peut être amenés à élever d’autres nombres au carré. Commençons par une technique très simple pour les nombres se terminant par 5.
Exemple : élever 75 au carré
On va tout simplement gérer les deux chiffres qui composent le nombre séparément.
Le 5, chiffre des unités, est élevé au carré ce qui donne 25
Quant au chiffre des dizaines, on lui ajoute 1 ce qui est égal à 8. Puis, on multiplie 7 et 8 entre eux. Ce qui nous donne 56.
On accole, ensuite, ensemble 56 et 25. Et le résultat est donc :
$75^2= 5 625$
Essayez maintenant par vous-même avec le nombre 35.
Vous avez rapidement trouvé 1 225 ? Bravo! Non seulement vous avez savez appliqué la méthode mais vous maîtrisez également la technique !
Cela fonctionne-t-il avec des nombres à 3 chiffres ?
La réponse est oui ! Et pas seulement avec les nombres à 3 chiffres, avec tous les nombres ! Mais la difficulté résidera alors dans le calcul de la multiplication du nombres de dizaines…
Exemple avec le nombre 105:
On élève 5 au carré, on obtient donc 25. Puis on multiplie 10 pat 10 + 1 soit 11. Ce qui donne 110. Le résultat final est donc 11 025. Je parie que vous avez vérifié avec votre calculatrice ! N’est-ce pas magique ?
L’explication de cette méthode
En réalité, et j’aurais aimé vous affirmer le contraire, il n’y a rien de magique dans ce qui précède…
Le secret réside dans la façon de transcrire un nombre à deux chiffres se terminant par 5 et l’utilisation des identités remarquables. Faisons maintenant un peu d’algèbre :
Tout nombre à deux chiffres peut s’écrire sous la forme : $10x + 5$ où $ x $ représente le chiffre des dizaines (ou le nombre de dizaines pour les nombre composés de 3 chiffres et plus).
Maintenant, effectuons un peu de calcul littéral :
$(10x + 5)^2= 100x^2 + 100x +25$
En factorisant les 2 premiers termes par $100x$, on obtient :
$100x^2 + 100x +25= 100x(x + 1) + 25 $
$100x(x + 1)$ représente donc le nombre de centaines du résultat final. Et on repère que le nombre de dizaines est multiplié par lui-même auquel on ajoute 1. CQFD !
Élever un nombre quelconque au carré ?
Maintenant que nous savons facilement élever un nombre terminant par 5 au carré, comment faire pour les autres nombres ? On peut s’appuyer encore une fois sur les identités remarquables :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \:\:Relation (1)$$
$$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \:\:Relation (2)$$
Exemple : élever 32 au carré
En utilisant la relation (1), on peut alors écrire :
$32^2 =(30 + 2)^2 = 900 + 120 +4 = 1024 $
L’avantage, c’est que l’on a, finalement qu’un série d’addition à réaliser
Autre exemple : élever 47 au carré
Cette fois-ci, on utilise la relation (2) pour écrire :
$47^2 = (50 – 3)^2 = 2500 – 300 + 9 = 2209$
On me demande souvent à quoi servent les identités remarquables. Eh bien, entres autres à faire du calcul mental !
Dernière technique pour élever un nombre au carré
Imaginons que nous souhaitions élever 24 au carré. Au nombre 24, on va lui soustraire 4 d’une part, et d’autre part lui additionner 4. Ce qui donne 20 et 28.
On multiplie ensuite 20 et 24 ce qui donne 560. Et enfin on ajoute 4 au carré soit 16.
Ce qui donne un total de 576.
J’ai choisi d’ôter 4 pour tomber sur 20 qui facilite le calcul de la multiplication. D’une manière générale on essaie toujours de se ramener à la dizaine la plus proche pour faciliter le calcul mental.
Encore une fois, cette méthode provient d’une identité remarquable.
$(a + b)(a – b) = a^2 + b^2$
On a donc :
$a^2 = (a + b)(a – b) + b^2$
Ici $a = 24$ et $b = 4$
Comment passer d'un carré à un autre ?
Il existe un moyen simple de passer d’un carré à un autre sans avoir à calculer selon la méthode utilisant les identités remarquables.
Avec un exemple c’est toujours mieux !
Imaginons que nous devons calculer 46 au carré.
On pourrait décomposer en 40 + 6 mais on va utiliser le fait que 46 et le nombre qui suit 45.
Pourquoi ? Parce que calculer 45 au carré est simple !
$45^2 = 2025$
Ce résultat est quasiment immédiat avec ce que nous avons vu plus haut.
Maintenant, on va obtenir 46 au carré en additionnant la quantité : 2 fois 45 +1
$46^2 = 2025 +91 = 2116$
Pour calculer 47 au carré on additionne 93 (soit 2 fois 46 +1) ce qui donne
$47^2 = 2116 + 93 =2209$
Le prochain se calculera en additionnant 95 et celui d’après en additionnant 97 et ainsi de suite !
D’où provient cette méthode miraculeuse pour élever un nombre au carré ?
Vous ne l’avez sans jamais remarqué, mais les nombres élevés au carré forme une suite évolutive logique comme vous pouvez le constater sur la photo ci-dessous:
Pour comprendre ce phénomène, développons :
$(x + 1)^2 = x^2 + 2x +1$
Dans l’égalité ci-dessus, la quantité $2x + 1$ représente un nombre impair positif lorsque $x$ est un nombre entier quelconque positif.
En effet, la suite numérique définie par :
$U_n = 2n +1, pour \: n\geq 0$
est la suite des nombres impairs positifs.
Il en vient logiquement que la suite des nombres au carré sont espacé des nombres impairs consécutifs.
Conclusion sur les nombres au carré:
Il existe des connaissances de bases à acquérir et à être capable de restituer par coeur. Pour tout le reste, vous devez développer des techniques de calcul mental pour trouver facilement le résultat sans avoir à poser l’opération.
Les habitudes viennent avec la pratique, c’est pourquoi, je ne peux que vous conseiller de vous entraîner. Les quiz rapides sont là pour ça !
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