Spécimen 4 : E3C de maths corrigé

Pour la première année de la réforme du bac 2021, le Ministère de l’Education Nationale a fourni des sujets type pour te préparer aux E3C de l’enseignement de spécialité en mathématiques.

Le spécimen 4 est l’un d’entre eux. Il aborde la quasi intégralité du programme de première et se compose de 4 exercices.

  • Dans l’exercice 1, c’est un QCM qui t’est proposé. En tout, tu dois répondre à 5 questions abordant 4 thèmes différents. La bonne nouvelle est qu’il n’est pas noté en point négatif. Tu ne connais pas la réponse?  Tu peux donc toujours répondre au hasard sans être pénalisé! Mais, je ne le recommande absolument pas…
  • L’exercice 2 traite du thème des fonctions
  • Et l’exercice 3 met à l’épreuve ta capacité à résoudre un  problème de probabilités
  • Quant à  l’exercice 4, celui-ci fait appel à tes connaissances sur le thème de la géométrie repérée.

Si tu ne le possèdes pas déjà, tu peux télécharger le sujet spécimen 4 complet.

Je t’invite, maintenant à découvrir la correction du spécimen 4, exercice par exercice

Le QCM corrigé en vidéo

Il s’agit d’un QCM sur 5 points sans point négatif. L’exercice comporte 5 questions (1 point par question) sur 4 sujets différents:
  • Calcul de dérivée
  • Propriétés de la fonction exponentielle
  • Suites numériques (2 questions)
  • Algorithmique

Ce QCM est disponible en version quiz auto-correctif avec calcul de la note de l’exercice

Etude de fonctions: lecture graphique + théorie

Voici un exercice en 2 parties:

La première partie est purement graphique quand la deuxième partie est plus théorique.

L’exercice fait appel à des savoir-faire très classiques: études de signes, résolution d’inéquations. 

Probabilités conditionnelles / variables aléatoires

L’exercice 3 aborde aussi bien la partie probabilités conditionnelles que la partie variable aléatoire. Un bon exercice pour s’entraîner sur les arbres pondérés et le calcul d’espérance

Géométrie: équations de droites et cercles

Équations cartésiennes de droites, produit scalaire et équations de cercle sont au rendez-vous de cet exercice.

Un bon test pour revoir vos compétences de base sur ce sujet.

Exercice 4: 5 points – Géométrie repérée

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 cm.

On considère la droite D d’équation $x+3y-5=0$

1. Montrer que le point A de coordonnée (2;1) appartient à la droite D et tracer la droite D dans le repère.

2. Montrer que la droite $D’$ passant par le point B de coordonnées (4;2) et perpendiculaire à la droite D admet pour équation $3x-y-10=0$

3. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite D. Déterminer, par le calcul, les coordonnées de H.

4. On considère le cercle C de diamètre [AB] et on note $\Omega$ son centre.

a) Déterminer une équation de C. Préciser son rayon et les coordonnées de $\Omega$

b) Le point H appartient-il à C? Justifier.

Correction exercice de géométrie repérée.

 1. Pour vérifier l’appartenance d’un point à une droite, on remplace simplement les coordonnées du point dans l’équation cartésienne de la droite:

$2+3\times 1 -5 = 5-5=0$

Les coordonnées du point A vérifient l’équation de la droite. Donc le point A appartient à la droite D.

2. On souhaite déterminer l’équation de la perpendiculaire à D passant par B. Un vecteur normal de D est donc un vecteur directeur de $D’$.

La droite D a pour équation cartésienne: $x+3y-5=0$. Un vecteur normal de D est donc: $\vec{n}(1;3)$. Comme $\vec{n} est aussi un vecteur directeur de $d’$, on en déduit que $d’$ a pour équation cartésienne:

$D’: 3x-y+c=0$

On détermine alors la valeur de c à l’aide des coordonnées du point B:

$3\times 4+2+c=0$ soit $c=-10$

L’équation cartésienne de $D’$ est donc:

$D’: 3x-y-10=0$

3. Le point H est le projeté orthogonal de B sur la droite D. Par définition, H appartient donc aussi bien à la droite D qu’à la droite $D’$. Les coordonnées du point H sont donc solution du système suivant:

$x+3y-5=0\: (L_1)$

$3x-y-10=0\: (L_2)$

On résout ce système par la méthode de substitution:

$L_1: x=5-3y$

$L_2: 3(5-3y)-y-10=0$

$15-9y-y-10=0$ soit: $y=0,5$

On calcule alors $x=5-3\times 0,5=3,5$

Le point H a donc pour coordonnées: $H(3,5;0,5)$

4.. Le cercle C a pour diamètre [AB]. $\Omega$ est donc le milieu de [AB]:

$x_{\Omega}=\frac{2+4}{2}=3$ et

$y_{\Omega}=\frac{1+2}{2}=1,5$

Le rayon R du cercle est égal à $\frac{AB}{2}$

On calcule donc la distance AB: $AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$

On a donc: $R=\frac{\sqrt{5}}{2}$

D’où l’équation du cercle C:

$C: (x-3)^2+(y-1,5)^2=\frac{5}{4}$

Pour vérifier si le point H appartient au cercle C, on remplace les coordonnées du point dans l’équation du cercle:

$(3,5-3)^2+(0,5-1,5)^2=0,5^2+1=1,25=\frac{5}{4}$

Le point H appartient donc au cercle C.