Sujet de bac 1ère: QCM spécimen 4

Les questions du QCM de maths spécimen 4

Voici un QCM qui permet de travailler les notions liées à la fonction exponentielle et aux suites numériques

Parmi les cinq questions, on compte:

  • Deux questions sur la fonction exponentielle dont une sur la dérivation d’un produit et l’autre sur la manipulation des propriétés algébriques
  • Trois questions sur les suites numériques: les connaissances sur les suites arithmétiques et géométriques sont mises à l’épreuve. Parmi elles, une question est relative à un programme en langage Python.

Comme pour tous les QCM des épreuves E3C de maths en première, nous vous conseillons de ne pas consacrer plus de 20 minutes à cet exercice. Et ce, afin de maîtriser le temps pour votre épreuve.

Une fois votre réponses soumises, vous pouvez ensuite étudier la correction qui vous est fournie en deux formats différents:

  • une correction vidéo
  • et une version écrite en bas de page

Pour accéder au corrigé intégral du sujet de bac specimen 4, cliquez sur le lien. Ou si vous vous souhaitez en savoir plus sur les QCM des E3C, lisez l’article statistiques E3C

Sujet E3C 02598 Exercice 1 (5 points)

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=(x+1)e^x$

La fonction dérivée $f’$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donnée par:

 

 
 
 
 

Question 2:

Pour tous réel $a$ et $b$, le nombre $\frac{e^a}{e^{-b}}$ est égal à :

 

 
 
 
 

Question 3:

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3=\frac{9}{2}$ et $u_6=3$

Alors le premier terme $u_0$ et la raison R de la suite sont:

 

 
 
 
 

Question 4:

On considère le programme écrit en langage Python:

s=0

for i in range(51)

s=s+i

 

Quelle est la valeur contenue dans la variable s après exécution du programme?

 

 
 
 
 

Question 5:

La valeur exacte de la somme $S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+…+(\frac{1}{2})^{15}$ est:

 

 
 
 
 

Correction vidéo QCM de maths spécimen 4

Pour vérifier votre travail, nous vous invitons à consulter la correction en vidéo du QCM du spécimen 4 ci-dessous. La correction détaillée écrite est également fournie plus bas.

QCM spécimen 4: correction détaillée

Question 1:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=(x+1)e^x$

La fonction dérivée $f’$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donnée par:

  • $f'(x)=e^x$
  • $f'(x)=(x+2)e^x$
  • $f'(x)=-xe^x$
  • $f'(0)=0$

On doit donc calculer la dérivée de la fonction $f$. Cette fonction est de la forme $uv$ qui se dérive en $u’v+uv’$ avec:

$u(x)=x+1$ et $v(x)=e^x$

On obtient donc:

$f'(x)=1\times e^x+(x+1)e^x=e^x(x+2)$ après factorisation


Question 2:

Pour tous réel $a$ et $b$, le nombre $\frac{e^a}{e^{-b}}$ est égal à :

  • $e^{a-b}$
  • $e^{\frac{a}{-b}}$
  • $\frac{e^b}{e^{-a}}$
  • $e^a-e^{-b}$

Cette question fait références aux propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Pour répondre, il faut donc savoir que:

$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

On peut alors écrire que: $e^{a}=\frac{1}{e^{-a}}$ et que $\frac{1}{e^{-b}}=e^b$

On obtient donc:

$\frac{e^a}{e^{-b}}=\frac{e^b}{e^{-a}}$


Question 3:

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3=\frac{9}{2}$ et $u_6=3$

Alors le premier terme $u_0$ et la raison R de la suite sont:

  • $u_0=6$ et $R=-\frac{1}{2}$
  • $u_0=\frac{1}{2}$ et $R=6$
  • $u_0=6$ et $R=\frac{1}{2}$
  • $u_0=\frac{3}{2}$ et $R=\frac{1}{2}$

Ici, on peut répondre en quelques secondes sans calcul à cette question. En effet, il suffit de constater que $u_6<u_3$, la suite est donc décroissante. Sa raison est, par conséquent négative. La seule réponse possible est alors:

$u_0=6$ et $R=-\frac{1}{2}$


Question 4:

On considère le programme écrit en langage Python:

s=0

for i in range(51)

  s=s+i

 

Quelle est la valeur contenue dans la variable s après exécution du programme?

  • 51
  • 1326
  • 1275
  • 2500

Question 5:

La valeur exacte de la somme $S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+…+(\frac{1}{2})^{15}$ est:

  • 1,750030518
  • $2-(\frac{1}{2})^{15}$
  • $2-(\frac{1}{2})^{14}$
  • 1,999969482

Il s’agit ici de calculer la somme des 16 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=\frac{1}{2}$

On applique donc la formule:

$S=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$S=1\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{16}}{1-\frac{1}{2}}=2-(\frac{1}{2})^{15}$}