Critères de divisibilité

Jusqu’en classe de 3ème, on nous apprend les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9. C’est-à-dire que l’on nous apprend à reconnaître si un nombre peut être divisé par ces mêmes nombres. Ou encore dit autrement, si un nombre donné est un multiple de 2, 3, 5 ou 9.

Vous avez tous, au moins une fois, entendu parlé de ces critères. Mais qu’en est-il de la divisibilité par 7? ou par 11? ou encore par 13?

Nous vous proposons donc de vous remémorer les critères les plus standards et d’en apprendre de nouveaux. Ces derniers seront particulièrement utiles pour les élèves préparant des concours post-bac d’entrée en école de commerce.

Les critères de divisibilité connus

Allez, on commence par une petite révision avec la divisibilité par 2, 3, 5 et 9.

Quel est le critère de divisibilité par 2?

Celui-ci, c’est juste une mise en jambe! Pour qu’un nombre soit divisible par 2, il suffit que ce nombre soit pair. C’est à dire qu’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Peu importe le nombre de chiffres qui composent le nombre étudié, tant que le chiffre des unités est pair c’est un multiple de 2!

Exemples: 26 ; 2 356 842 ; 123 456 789 124

Tout nombre pair est un multiple de 2

Comment prouver qu’un nombre est multiple de 3 ?

Pas aussi simple que le critère de divisibilité précédent mais pas très compliqué non plus. Pourtant, tant d’élèves ont du mal à le retenir.

Un nombre est un multiple de 3 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3

Voici un exemple et un contre-exemple pour illustrer la phrase ci-dessus:

Exemple:est-ce que 201 est divisible par 3?

Bonne question! (Mal)heureusement, nous n’apprenons pas la table de multiplications de 3 jusqu’à 201! Mais on ne nous demande pas le résultat. On cherche seulement à savoir si 201 est un multiple de 3.

On additionne donc les 3 chiffres qui composent 201: 2+0+1=3

Or 3 est effectivement un multiple de 3. Donc 201 est divisible par 3.

Contre-exemple: 456 775 est-il divisible par 3?

On procède de la même façon: 4+5+6+7+7+5=34

Or 34 n’est pas un multiple de 3 donc 456 775 n’est pas divisible par 3

Simple, non?

Reconnaître un multiple de 5:

Voici un critère tout aussi simple que celui de 2. Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 5 ou 0.

Un nombre est un multiple de 5 s’il se termine par 0 ou 5

Comment savoir si un  nombre est divisible par 9?

Ce critère de divisibilité s’apparente à celui de 3.

En effet, un nombre est divisible par ç si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

Un nombre est un multiple de 9 si la somme des chiffres qui le compose est un multiple de 9

Même si vous connaissez ce critère, on vous donne un petit exemple

Exemple: est-ce que 54 est divisible par 9?

Au-delà du fait que vous devriez connaître vos tables de multiplications, on calcule la somme de 5 et 4:

5+4=9 et 9 est bien un multiple de 9. La réponse est oui!

Contre-exemple: 123 est-il divisible par 9?

De la même façon, on calcule la somme: 1+2+3=6

Donc 123 n’est pas divisible par 9. Par contre 123 est divisible par 3!

Autres critères de divisibilité

Maintenant que nous avons revu la base, on vous présentes cinq nouveaux critères de divisibilité. Ils seront utiles pour tout ce qui est simplification de fraction, calcul mental. Et nous pensons particulièrement à tous les élèves qui préparent des concours comme sesame, accès ou tage mage.

Comment savoir si un nombre est multiple de 4?

Il parait évident que le nombre en question doit forcément être pair! Mais, attention tous les nombres divisibles par 2 ne le sont pas forcément par 4.

Un moyen simple de savoir si c’est un multiple de 4 est de ne prendre en compte que les deux derniers chiffres qui composent le nombre. 

Ex: 316 est-il un multiple de 4?

316 se termine par 16. Et 16 est un multiple de 4. Donc 316 est un multiple de 4.

Qu’en est-il de 522 ou 433?

Pour 433, la réponse est immédiate! 433 est un nombre impair alors il ne peut pas être divisible par 4.

Quant à 522, 22 n’est pas dans la table de multiplications de 4. Donc 522 n’est pas un multiple de 4.

Un nombre est divisible par si ses deux derniers chiffres représentent un multiple de 4

Quelle est la condition de divisibilité par 7?

Un nombre est divisible par 7 si le nombre de dizaines auquel on soustrait deux fois le chiffre des unités est un multiple de 7

Critère de divisibilité par 7

91 est-il un multiple de 7?

On pose d le nombre de dizaines donc ici d=9

On pose également u le nombre des unités; ici u=1

Et on calcule :

d-2u=9-2×1=7

7 est un multiple de 7 donc 91 est un multiple de 7

reconnaître un multiple de 7

651 est-il un multiple de 7?

Dans le cadre de 651:

d=65 et u u=1

La différence d-2u est alors égale à 63.

Donc 651 est un multiple de 7 puisque 63=7×9

Reconnaître si un nombre est divisible par 11

Voilà un critère de divisibilité qui se différencie des autres. Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on fait la différence entre la somme de chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair.

123 est-il un multiple de 11?

On additionne les chiffres de rang impair: 1+3=4

On additionne les chiffres de rang impair : 2

Et on soustrait les 2: 4-2=2

2 n’est pas un multiple de 11 donc 123 ne l’est pas non plus.

3 201 est-il divisible par 11?

On procède de même:

3+0=3 (somme des rangs pairs)

2+1=3 (somme des rangs impairs)

et on a : 3-3=0

3201 est un multiple de 11

Un nombre est un multiple de 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11.

Critère de divisibilité par 13

Critère de divisibilité par 13

Ce critère fonctionne un peu de la même façon que celui pour 7. En effet, on tient compte du nombre de dizaines et du nombre des unités.

Dans le cas de 91:

d=9 et u= 1.

On réalise l’opération : d+4u=9+4×1=13

91 est donc un multiple de 13

reconnaître un multiple de 13

Dans le cas de 572, d=57 et u=2

Avec l’opération : d+4u=9+4×2=65

Or 65 est un multiple de 13 puisque 65=13×5 donc 572 est un multiple de 13

En conclusion sur les critères

Il existe une multitudes de critères . Nous vous en avons présenté quelques-uns au sein de cette page. Sachez que l’on peut également développer des techniques pour d’autres nombres, comme utiliser la décomposition en facteurs premiers.

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