Annales Avenir 2019: suites

Questions de suites: Q1 à Q8

Le sujet d’annales du concours avenir 2019 démarre fort avec huit questions sur le thème des suites numériques. Les huit questions portent essentiellement sur la notion de suites arithmétiques et géométriques. Avec notamment des déterminations de raison pour chaque type de suite.

Comme pour tous les sujets du Concours Avenir, vous disposez, en moyenne de deux minutes par question. Vous devez donc essayer de résoudre ces huit problèmes en 16 minutes maximum.

La notation en fin de test est la même que le jour du concours. Vous bénéficierez donc de 3 points par réponses valides et d’un malus de 1 point par mauvaise réponse. Vous pouvez également choisir de laisser une question sans réponse. Mais nous vous conseillons, dans le cas d’une préparation au concours, d’essayer de répondre à toutes les questions.

Bon entraînement!

 

Question 1:

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique tel que : $u_{10}=12$ et $u_{15}=8$
Que vaut la raison $r$ de $(u_n)$ ?

 
 
 
 

Question 2:

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que : $u_{2018}=12$ et $\frac{u_{2018}+u_{2020}}{2}=12,5$

Que vaut la raison r de cette suite ?

 
 
 
 

Question 3:

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=-10$ et de raison 2. Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison 2; soit enfin $(w_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :
$w_n=\frac{u_n+v_n}{2}$

La somme $u_9+v_9+w_9$ est égale à :

 
 
 
 

Question 4:

Soit $u_n)$ une suite géométrique de raison 2 et $(v_n)$ la suite définie par $v_n=2u_n$

On peut alors affirmer que :

 
 
 
 

Question 5:

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et $(v_n)$ la suite définie par :
$v_n=u_{n+1}-u_n$
On peut alors affirmer que :
 
 
 
 

Question 6:

Soit $(u_n)$ la suite à valeurs strictement positives définies sur $\mathbb{N}$ par :
$u_0=2$ et $u_{n}=\frac{2u_n}{u_n+1} \:\: pour \:n\in \mathbb{N}$
On définit également la suite \[(v_n)\] par :
$v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \:\:\: pour\: tout\: n\in \mathbb{N}$
La suite $(v_n)$ est :
 
 
 
 

Question 7:

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=2u_n+n+4$
On définit également sur $\mathbb{N}$ la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n+n+a$
Pour quelle valeur de $a$ la suite $(v_n)$ est-elle géométrique ?
 
 
 
 

Question 8:

Soit $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout $n$ entier naturel non nul:
$u_{n+1}=\frac{1}{2n}u_n+2n+2$
On a alors :
 
 
 
 

Correction: annales Avenir suites

Maintenant que vous avez complété le QCM et obtenu votre note, nous vous invitons à valider l’ensemble de vos réponses.

Etudiez attentivement la correction aux questions auxquelles vous avez mal répondu. Mais jeter également un coup d’oeil à la correction de vos bonnes réponses. Vous pourrez ainsi valider votre raisonnement ou découvrir une autre façon de procéder.

A l’issue de la correction, vous pourrez alors choisir de travailler une autre partie du sujet d’annales du concours Avenir 2019.

 

Question 1:

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que : $u_{10}=12$ et $u_{15}=8$

Que vaut la raison $r$ de la suite $(u_n)$ ?

a)$r=0,6$

b)$r=-0,6$

c)$r=-0,8$

d)$r=-1,2$

Correction :

La suite $(u_n)$ est arithmétique. on a donc :

$u_{15}=u_{10}+5r$

soit $5r=-4$ et donc $r=-0,8$

Réponse c


Question 2 :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que :

$u_{2018}=12$ et $\frac{u_{2018}+u_{2020}}{2}=12,5$

Que vaut la raison $r$ de $(u_n)$ ?

a)$r=0,5$

b)$r=1$

c)$r=-1$

d)$r=-0,5$

Correction

la quantité $\frac{u_{2018}+u_{2020}}{2}=12,5$ est la moyenne des termes $u_{2018}$ et $u_{2020}$. Elle est donc égale à $u_{2019}$

La réponse est alors immédiate : $r=0,5$

Réponse a


Question 3:

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=-10$ et de raison 2. Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison 2
Soit enfin, $(w_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :
$w_n=\frac{u_n+v_n}{2}$
La somme $u_9+v_9+w_9$ est égale à : 
 
a) 260
b) 520
c) 780
d) 1560
 
Correction :
$(u_n)$ est une suite arithmétique donc : $u_9=u_0+9r$ soit $u_9=8$
$(v_n)$ est une suite géométrique donc : $v_9=v_0\times q^9$ soit $v_9=512$
et donc  : $w_9=260$
Alors on a : $u_9+v_9+w_9=780$
Réponse c

Question 4:

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison 2 et $(v_n)$ la suite définie par $v_n=2u_n$.
On peut alors affirmer que :
 
a)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$
b)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$
c)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$
d)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $4$
 
Correction :
$(u_n)$ est géométrique de raison 2, on peut donc écrire que : $u_n=u_0\times 2^n$
$v_n=2u_n$ donc $v_{n+1}=2u_{n+1}$
On en déduit que : $v_{n+1}=2\times 2^{n+1}=2^{n+2}$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 2
 
Réponse a

Question 5:

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et $(v_n)$ la suite définie par :
$v_n=u_{n+1}-u_n$
On peut alors affirmer que :
 
a)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q$
b)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q-1$
c)$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q(q-1)$
d)$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $q$
 
Correction :
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ donc : $u_n= u_0\times q^n$
On a alors : $v_n=u_0\times q^{n+1}-u_0\times q^n=u_0\times q^n(q-1)= u_0\times (q-1)\times q^n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q$
 
Réponse a

Question 6

Soit $(u_n)$ la suite à valeurs strictement positives définies sur $\mathbb{N}$ par :
$u_0=2$ et $u_{n}=\frac{2u_n}{u_n+1} \:\: pour \:n\in \mathbb{N} $
On définit également la suite $(v_n)$ par :
$v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \:\:\: pour\: tout\: n\in \mathbb{N}$
 
La suite $(v_n)$ est :
a) géométrique de raison $2$
b) géométrique de raison $\frac{1}{2}$
c) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$
d) arithmétique de raison $2$
Correction
Dans le cadre d’un QCM, la démonstration n’est pas demandée, il est donc plus judicieux de calculer les premiers termes de la suite $(v_n)$. Il sera alors facile de repérer si la suite est arithmétique ou géométrique.
$u_0=2$ et $v_0=\frac{1}{2}$
$u_1=\frac{4}{3}$ et $v_1=\frac{1}{4}$
$u_2=\frac{8}{7}$ et $v_3=\frac{1}{8}$
On constate de suite que $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$
 
Réponse b

Question 7:

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=2u_n+n+4$
On définit également sur $\mathbb{N}$ la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n+n+a$
Pour quelle valeur de $a$ la suite $(v_n)$ est-elle géométrique ?
 
a) $2$
b) $-2$
c) $\frac{5}{2}$
d) $5$
 
Correction:
On calcule $v_{n+1}$:
$v_{n+1}=u_{n+1}+n+1+a$
$v_{n+1}=2u_n+n+4+n+1+a$
$v_{n+1}=2u_n+2n+5+a$
$v_{n+1}=2\left(u_n+n+\frac{5+a}{2}\right)$
$(v_n)$ est alors une suite géométrique si et seulement si :
$\frac{5+a}{2}=a$
Soit : $a=5$
 
Réponse d

Question 8: 

Soit $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout $n$ entier naturel non nul:
$u_{n+1}=\frac{1}{2n}u_n+2n+2$
 
On a alors :
a) $u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+5$
b) $u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+6$
c) $u_{n+2}=\frac{1}{4n^2}u_n+2n+7$
d) $u_{n+2}=\frac{1}{4n^2}u_n+2n+6$
 
 
Correction :
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}u_{n+1}+2(n+1)+2$
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}\left(\frac{1}{2n}u_n+2n+2\right)+2n+4$
$u_{n+2}=\frac{1}{2n+2}\times \frac{1}{2n}u_n+1+2n+4$
$u_{n+2}=\frac{1}{4n\times (n+1)}u_n+2n+5$
 
Réponse a