Avenir 2019: annales complexes

Complexes et géométrie plane: Q9 à 20

Sur cette page, vous trouverez la correction détaillée de la partie “Nombres Complexes et Géométrie Plane” du sujet 2019 du Concours Avenir. 

La version écrite de cette correction est également proposée, question par question dans la suite de cette page.

Pour vous entraîner, nous vous conseillons de vous accorder en moyenne 2 minutes par questions soit 24 minutes au total pour l’ensemble des questions de complexes et géométrie plane. Ainsi, vous serez dans les conditions du concours.

Nous vous rappelons également, que toute bonne réponse rapporte 3 points quand une mauvaise en enlève un. Vous obtiendrez votre score après avoir soumis l’ensemble de vos réponses. Comme lors de l’épreuve, vous avez la possibilité de vous abstenir mais nous vous conseillons vivement d’essayer de répondre(de manière réfléchie!) à toutes les questions.

A vous de jouer!

Pour les questions 9, 10 et 11, on considère l’algorithme suivant :

Question 9:
Que permet de faire cet algorithme ?

 
 
 
 

Question 10 :
Si l’utilisateur de cet algorithme entre une valeur négative pour $z$, alors :

 
 
 
 

Question 11:
Dans quel cas, obtient-on “Vrai” ?

 
 
 
 

Question 12:
Un carré a une aire agale à $48 cm^2$. La longueur de l’une des diagonale est égale à :

 
 
 
 

Question 13:
On note $j$ un nombre complexe, solution de l’équation $1+z+z^2=0$
On peut alors affirmer que $(j+j^2+j^3)^3$ est égal à :

 
 
 
 

Question 14:
La partie réelle du complexe : $2i(1+i+cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))$ est égale à :

 
 
 
 

Question 15:
On note Re(z)$ la partie réelle et $Im(z)$ la partie imaginaire d’un nombre complexe $z$.
Si $z_1$ et $z_2$ désignent deux nombres complexes non nuls, alors : $\left((z_1+iz_2)(1+i)\right)$

 
 
 
 

Question 16:
Si $z=cos(\frac{\pi}{8})+isin(\frac{\pi}{8})$; alors $z^8$ est égal à:

 
 
 
 

Question 17 :
Soit $p$ un nombre réel et $(E)$ l’équation suivante : $2pz^2+(1-p)z+2p=0$
A quel ensemble doit appartenir $p$ pour que $(E)$ ait deux racines complexes conjuguées ?

 
 
 
 

Question 18:
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes d’arguments respectifs $arg(z_1)=\frac{5\pi}{8}$ et $arg(z_2)=\frac{5\pi}{6}$ dans $]-\pi;\pi[$.
On peut alors affirmer que la valeur dans $]-\pi;\pi[$ de $arg(z_1\times z_2^3)$ est :

 
 
 
 

Question 19:
Dans le plan complexe, on appelle A le point d’affixe $(-2+3i)$ et I le point d’affixe $(5+6i)$. le symétrique A par rapport au point I a pour affixe :

 
 
 
 

Question 20:

Dans le plan complexe, on considère trois points distincts A, B, C d’affixes respectives $z_A$,$z_B$, $z_C$ avec : AB=8 cm et :

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3}{4}i$

La longueur du segment [BC] est égale à :

 
 
 
 

Corrigé détaillé des questions de géométrie

 

annales du concours Avenir 2019 algorithme

Question 9:

Que permet de faire cet algorithme ?

a) Tester si un point appartient à une droite
b) Tester si un point est sur le côté d’un triangle
c) Tester si un triangle est rectangle
d) Tester si un point appartient à un cercle
 
Correction :
On reconnait dans l’algorithme l’écriture d’une équation de cercle de type :
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
avec $a=2$ et $b=-5$
 
Réponse c

Question 10:

Si l’utilisateur de cet algorithme entre une valeur négative pour $z$, alors :
a)On obtient toujours “Vrai”, quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$
b) on obtient un message d’erreur car l’algorithme ne fonctionne pas
c) On obtient toujours “Faux”, quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$
d) l’affichage dépend des valeurs de $x$ et $y$
 
Correction :
La valeur contenue dans la variable $z$ est élevée au carré. Donc $z^2>0$. L’affichage ne peut donc pas être à chaque fois “Faux”. De même il ne peut pas être toujours “vrai”. La réponse dépend des valeurs de $x$ et $y$ saisies.
 
Réponse d

Question 11:

Dans quel cas, obtient-on “Vrai” ?
a) $x=3$, $y=4$, $z=5$
b) $x=1$, $y=1$, $z=2$
c) $x=2$, $y=-5$, $z=-3$
d) $x=5$, $y=-1$, $z=5$
 
Correction :
Dans cette question, il suffit de remplacer dans l’équation pour valider quelle proposition est vraie.
Réponse d

Question 12:

Un carré a une aire égale à $48 cm^2$. La longueur de l’une des diagonale est égale à :

a) $4\sqrt{6}$

b) $8\sqrt{3}$

c) $8\sqrt{6}$

d) $4\sqrt{3}$

Correction:

Dans un carré de côté $a$, la diagonale mesure $a\sqrt{2}$. Ce résultat se trouve très facilement en appliquant un théorème de Pythagore.

ici $a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ en simplifiant la racine carré.

La diagonale mesure donc : $4\sqrt{3 }\times \sqrt{2}=4\sqrt{6}$

Réponse a


Question 13

On note $j$ un nombre complexe, solution de l’équation $1+z+z^2=0$
On peut alors affirmer que $(j+j^2+j^3)^3$ est égal à :

a) 0

b) 1

c) j

d) $j^2$

Correction :

$j$ est solution de l’équation donc :$1+j+j^2=0$

En multipliant l’égalité par $j$, on obtient : $j+j^2+j^3=0$

donc $(j+j^2+j^3)^3=0$

Réponse a


Question 14:

La partie réelle du complexe : $2i(1+i+cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))$ est égale à :

a) $3$

b) $-2-\sqrt{3}$

c) $\frac{3}{2}$

d) $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

Correction :

Pour répondre correctement, il est inutile de tout développer. La partie réelle provient de :

$2i\times i + 2i\times isin\frac{\pi}{3}$

ce qui est égal à : $-2-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

Réponse b


Question 15:

On note $Re(z)$ la partie réelle et $Im(z)$ la partie imaginaire d’un nombre complexe $z$.
Si $z_1$ et $z_2$ désignent deux nombres complexes non nuls, alors : $Re\left((z_1+iz_2)(1+i)\right)$

Correction :

Développons :

$(z_1+iz_2)(1+i)=z_1+iz_2+iz_1-z_2$

On en déduit que $Re((z_1+iz_2)(1+i))=Re(z_1-z_2)-Im(z_1+z_2)$

Réponse a


Question 16:

Si $z=cos(\frac{\pi}{8})+isin(\frac{\pi}{8})$; alors $z^8$ est égal à:

a) 1

b) i

c)-1

d) -i

Correction :

Par définition : $z=cos\Theta+isin\Theta=e^{i\Theta}$

Donc : $z^8=e^{i\pi}=-1$

Réponse c


Question 17:

Soit $p$ un nombre réel et $(E)$ l’équation suivante : $2pz^2+(1-p)z+2p=0$
A quel ensemble doit appartenir $p$ pour que $(E)$ ait deux racines complexes conjuguées ?

a) $[-\frac{1}{3};\frac{1}{5}]$

b) $]-\frac{1}{3};\frac{1}{5}[$

c) $]-\infty;-\frac{1}{3}]\cup [\frac{1}{5};+\infty[$

d) $]-\infty;-\frac{1}{3}[\cup ]\frac{1}{5};+\infty[$

Correction :

L’équation admet deux racines complexes conjuguées si et seulement si $\Delta<0$.

On calcule $\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=(1-p)^2-4\times (2p)^2$=-15p^2-2p+1$

$\Delta$ est lui-même un trinôme du second degré.

On calcul : $\Delta’=4-4\times (-15)\times 1=64$

Le trinôme $-15p^2-2p+1$ admet deux racines réelles distinctes. On obtient : $p=\frac{1}{5}$ et $p=\frac{-1}{3}$

On en déduit le signe de $\Delta’$ et que la bonne réponse est 

Réponse d


Question 18:

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes d’arguments respectifs $arg(z_1)=\frac{5\pi}{8}$ et $arg(z_2)=\frac{5\pi}{6}$ dans $]-\pi;\pi[$.
On peut alors affirmer que la valeur dans $]-\pi;\pi[$ de $arg(z_1\times z_2^3)$ est :

a) $\frac{\pi}{2}$

b) $-\frac{7\pi}{8}$

c) $\frac{7\pi}{8}$

d) $-\frac{\pi}{2}$

Correction :

$arg(z_1\times z_2^3)=arg(z_1)+3\times arg(z_2)= \frac{5\pi}{8}+\frac{5\pi}{2}=\frac{25\pi}{8}=-\frac{7\pi}{8} (2\pi)$

Réponse b


Question 19:

Dans le plan complexe, on appelle $A$ le point d’affixe $(-2+3i)$ et $I$ le point d’affixe $(5+6i)$. le symétrique $A$ par rapport au point $I$ a pour affixe :

a) $-9-2i$

b) $\frac{3}{2}-\frac{11}{2}i$

c) $-9+13i$

d) $12+9i$

Correction :

Soit $B$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. On peut écrire

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

On a alors : $z_I-z_A=z_B-z_I$ soit $z_B=2z_I-z_A$

$z_B=2(5+6i)-(-2+3i)=12+9i$

Réponse d


Question 20:

Dans le plan complexe, on considère trois points distincts $A$, $B$, $C$ d’affixes respectives $z_A$,$z_B$, $z_C$ avec : $AB=8 cm$ et :

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3}{4}i$

La longueur du segment [BC] est égale à :

a) 6 cm

b) 8 cm

c) 9 cm

d) 10 cm

Correction : 

$\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\left|\frac{3}{4}i\right|=\frac{3}{4}$

On a donc : $\left|z_C-z_A\right|=\frac{3}{4}\times \left|z_B-z_A\right|$

On en déduit  : AC=6

Réponse a